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| Aufgabe | Es seien [mm] (\Omega,p) [/mm] ein DZE mit WV P, [mm] A,B\subset\Omega.
[/mm]
a) Zeigen Sie: Sind A und B stochastisch unabhängig, so sind auch [mm] \overline{A} [/mm] und B, A und [mm] \overline{B} [/mm] sowie [mm] \overline{A} [/mm] und [mm] \overline{B} [/mm] stochastisch unabhängig.
b) Das Ergebnis A impliziere das Ergebnis B. Was lässt sich über die stochastische Unabhängigkeit sagen?
c) Wie viele Gleichungen müssen überprüft werden, um die stochastische Unabhängigkeit von n Ereignissen zu überprüfen? Stellen Sie eine Formel auf und beweisen Sie diese. |
Hallo zusammen :)
Bei der geposteten Aufgabe haben Aufgabenteil a) und b) problemlos geklappt. Probleme bereitet mir leider der Aufgabenteil c).
Um mir eine Formel herzuleiten, habe ich mir für konkrete n angeguckt, wie viele Gleichungen ich erhalte, die ich auf die stochastische Unabhängigkeit prüfen muss.
Für n=3 habe ich 3 Ereignisse [mm] A_1,A_2,A_3, [/mm] dann muss ich diese Gleichungen prüfen:
[mm] (A_1 \cap A_2)
[/mm]
[mm] (A_1 \cap A_3)
[/mm]
[mm] (A_2 \cap A_3)
[/mm]
[mm] (A_1 \cap A_2 \cap A_3)
[/mm]
Für n=4 habe ich 4 Ereignisse [mm] A_1,A_2,A_3,A_4, [/mm] dann muss ich diese Gleichungen prüfen:
1. [mm] (A_1 \cap A_2)
[/mm]
2. [mm] (A_1 \cap A_3)
[/mm]
3. [mm] (A_1 \cap A_4)
[/mm]
4. [mm] (A_2 \cap A_3)
[/mm]
5. [mm] (A_2 \cap A_4)
[/mm]
6. [mm] (A_3 \cap A_4)
[/mm]
7. [mm] (A_1 \cap A_2 \cap A_3)
[/mm]
8. [mm] (A_1 \cap A_2 \cap A_4)
[/mm]
9. [mm] (A_2 \cap A_3 \cap A_4)
[/mm]
10. [mm] (A_1 \cap A_3 \cap A_4)
[/mm]
11. [mm] (A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)
[/mm]
Das führte mich zu der Formel [mm] 2^{n}-n-1, [/mm] die die Anzahl der zu prüfenden Gleichungen angibt.
Stochastische Unabhängigkeit haben wir in der Vorlesung folgendermaßen definiert:
[mm] (\Omega,p) [/mm] DZE mit WV P. I eine Menge [mm] (A_i)_{i \in I} \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] eine Familie von Teilmengen von [mm] \Omega.
[/mm]
a) Die Familie [mm] (A_i)_{i \in I} [/mm] heißt stochastisch unabhängig genau dann, wenn [mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] und [mm] i_1,....,i_m \in [/mm] I (paarweise verschieden) gilt: [mm] P(A_i_1 \cap...\cap A_i_n)=P(A_i_1)\*....\*P(A_i_n).
[/mm]
b) Die Familie heißt paarweise stochastisch unabhängig genau dann, wenn für alle i,j [mm] \in [/mm] I, i [mm] \not= [/mm] j: [mm] P(A_i \cap A_j)=P(A_i)\*P(A_j).
[/mm]
Mein Problem bei der Teilaufgabe c) ist, ich würde die Formel mit einer Induktion beweisen, kriege aber keine Induktionsvoraussetzung zustande, da ich nicht genau weiß, wie ich die Anzahl der Gleichungen mit der Definition der Stochastischen Unabhängigkeit zu einer Induktionsvoraussetzung zusammen bringen soll.
Alternativ soll es laut unserem Übungsleiter einen kombinatorische Beweis geben, doch da hatte ich bis jetzt keine zündende Idee.
Hätte jemand vielleicht einen Tipp für mich oder eine Idee?
Ich wäre euch für eure Hilfe sehr dankbar,
Flauschfussel
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Hiho,
also dein Ansatz ist in Ordnung, deine Formel stimmt auch.
Bei deiner Induktion müsstest du nun also begründen, wie viele Prüfungen dazu kämen, wenn du ein neues Element [mm] A_{n+1} [/mm] hinzunehmen würdest.
Deine bisheringen [mm] 2^n-n+1 [/mm] Prüfungen.
Dann kommt in jeder Prüfung ein [mm] A_{n+1} [/mm] als Schnitt dazu => macht nochmal [mm] 2^n-+1 [/mm] Prüfungen.
Dann kommt noch die Prüfung auf paarweise Unabhängigkeit mit deinen [mm] A_1,\ldots,A_n [/mm] hinzu => nochmal n Prüfungen
usw.
Es geht aber auch einfacher!
Tipp: Binomialkoeffizient.
Denn: Du brauchst ja genau so viele Prüfungen wie du aus den n Mengen k aussuchen kannst für [mm] $k\in\{2,\ldots,n\}$.
[/mm]
Und die Summe aus den Binomialkoeffizienten solltest du kennen 
Gruß,
Gono.
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