Stochastisch => in Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:54 Do 01.03.2012 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo!
Wir haben in unserer Vorlesung die Implikation aus [mm] $(\mathbb [/mm] P)$-stochastisch folgt Konvergenz in Verteilung über das Teilfolgenprinzip gezeigt.
Aus meiner alten Maßtheorie/Stochastik Vorlesung habe ich aber einen eleganteren Beweis, jedoch nur für den ein-dimensionalen Fall.
Es seien $X, [mm] X_j [/mm] : [mm] \Omega \to \mathbb [/mm] R$ ZV mit [mm] $X_j \xrightarrow{\mathbb P} [/mm] X$. Dann gilt [mm] $X_j \xrightarrow{\mathcal D} [/mm] X$.
Zum Beweis:
Es sei $f [mm] \in C_b(\mathbb [/mm] R)$.
1. [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \forall [/mm] k [mm] \geq [/mm] N: [mm] \mathbb P(\vert [/mm] X [mm] \vert [/mm] > k) < [mm] \epsilon$ [/mm] . Da [mm] $\{\vert X \vert > k\} \downarrow \emptyset$ [/mm] wenn $k [mm] \uparrow \infty$, [/mm] folgt die Beh. aus der [mm] $\emptyset$-Stetigkeit [/mm] von [mm] $\mathbb [/mm] P$.
2. Da $f [mm] \in C_b$, [/mm] gilt [mm] $\vert f\vert \leq [/mm] M$ ($M$ geeignet) und [mm] $f\big|_{[-N-1,N+1]}$ [/mm] ($N$ aus 1.) ist gleichmäßig stetig, d.h.
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 : [mm] \forall \vert [/mm] x [mm] \vert, \vert [/mm] y [mm] \vert \leq [/mm] N+1$, [mm] $\vert [/mm] x-y [mm] \vert \leq \delta \Longrightarrow \vert [/mm] f(x)-f(y) [mm] \vert \leq \epsilon$.
[/mm]
O.B.d.A. sei [mm] $\delta [/mm] < 1$. Somit
[mm] $\vert \mathbb [/mm] E f [mm] (X_j) [/mm] - [mm] \mathbb [/mm] E f [mm] (X)\vert \leq \mathbb [/mm] E [mm] \vert [/mm] f [mm] (X_j) [/mm] - f [mm] (X)\vert [/mm] = [mm] \int_{\{|X_j-X|\leq \delta\}\cap\{|X|\leq N\}} [/mm] + [mm] \int_{ \{|X_j-X|\leq \delta\}\cap\{|X|>N\}} [/mm] + [mm] \int_{\{|X_j-X|>\delta\}} \vert f(X_j)-f(X)\vert \mathrm d\mathbb [/mm] P$
Wegen f glm. stetig, ist [mm] $|X_j| \leq |X_j-X|+|X| \leq \delta [/mm] + N [mm] \leq [/mm] 1+N$ und $|f (x)-f [mm] (y)|\leq 2\Vert [/mm] f [mm] \Vert_\infty \leq [/mm] 2M$ und damit weiter
[mm] $\vert \mathbb [/mm] E f [mm] (X_j) [/mm] - [mm] \mathbb [/mm] E f [mm] (X)\vert \leq \epsilon \mathbb P(|X_j [/mm] - [mm] X| \leq \delta, [/mm] |X| [mm] \leq [/mm] N) + 2M [mm] \mathbb [/mm] P(|X| > N) + 2M [mm] \mathbb P(|X_j [/mm] - X| > [mm] \delta)$
[/mm]
[mm] $\leq ̨\epsilon +2M\epsilon [/mm] +2M [mm] \underbrace{\mathbb P(|X_j - X| > \delta)}_{j \to \infty}$
[/mm]
[mm] $\xrightarrow{j \to \infty} [/mm] (2M + [mm] 1)\epsilon \xrightarrow{\epsilon \to 0} [/mm] 0$ |
Meine Überlegung war nun, dass dieser auch für den [mm] $\mathbb R^d$ [/mm] analog geführt werden können müsste, wenn man einfach eine Norm statt der Beträge einführt.
Übersehe ich da "Schwierigkeiten" die entstehen könnten? Wahrscheinlich müsste man auch mit den Stetigkeitsbegriffen "aufpassen" und mit der Einschränkung auf $[-N-1,N+1]$.
Mfg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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