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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mi 19.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
| Aufgabe | Bedingte Wahrscheinlichkeiten:
In einem Beispiel wird mit einem normalen Würfel einmal gewürfelt.
Ereignis A: "Zahl ist durch 3 teilbar".
Ereignis B: "Zahl ist Primzahl".
Setzen Sie voraus, dass das Ereignis B unter der Bedingung von Ereignis A eintritt. Sind die Ereignisse unabhängig oder abhängig voneinander? |
Für sich sind ja die Wahrscheinlichkeiten 1/2 und 1/3,
dass sie eintreten, setze ich jetzt A voraus, so sind sie dann abhängig, oder? Mit einer Gesamt-W.keit von 1/9?????
Ich glaube aber, dass das falsch ist! Vielleicht kann mir dajemand helfen???
Klingt ja zuerst mal simpel, aber für mich leider nicht.
MFG MAX
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Hallo m.a.x.,
> In einem Beispiel wird mit einem normalen Würfel einmal
> gewürfelt.
> Ereignis A: "Zahl ist durch 3 teilbar".
> Ereignis B: "Zahl ist Primzahl".
> Sind die Ereignisse unabhängig
> oder abhängig voneinander?
Also zwei Ereignisse [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] heißen stochastisch unabhängig, wenn
[mm]P(A\cap B) = P(A)P(B)[/mm]
Nun gilt ja:
[mm]A := \{3,6\}[/mm]
[mm]B := \{2,3,5\}[/mm]
[mm]A \cap B = \{3\}[/mm]
Und die Wahrscheinlichkeit eine 3 zu würfeln ist [mm]\frac{1}{6}[/mm].
Ferner gilt:
[mm]P(A) = \frac{\left|\{3,6\}\right|}{\left|\{1,\dotsc,6\}\right|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}[/mm]
[mm]P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}[/mm]
und schließlich
[mm]P(A)P(B) = \frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}[/mm]
Damit erfüllen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] die obige Definition und sind damit stochastisch unabhängig.
> dass sie eintreten, setze ich jetzt A voraus, so sind sie dann abhängig,
> oder? Mit einer Gesamt-W.keit von 1/9?????
Benutzen wir doch die entsprechende Definition:
[mm]P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} = P(B)[/mm]
Du siehst die beiden Ereignisse beeinflußen sich wirklich nicht, wie wir auch oben bereits festgestellt haben.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 19.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
Wie muss man sich das denn vorstellen, werden da zweimal Würfel geworfen oder nur einmal, ich kann mir da irgendwie nix drunter vorstellen...
mfg
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Hi, m.a.x.,
> Wie muss man sich das denn vorstellen, werden da zweimal
> Würfel geworfen oder nur einmal, ich kann mir da irgendwie
> nix drunter vorstellen...
Es wird nur ein Würfel geworfen.
Die Sache mit der "Unabhängigkeit" von Ereignissen musst Du Dir so vorstellen:
Da ist einer (sagen wir: Moritz), der den Würfel wirft und deckt die geworfene Zahl ab; Moritz selbst weiß aber schon, was rausgekommen ist.
Nun musst Du raten, ob eine Primzahl geworfen wurde, oder nicht.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Du richtig rätst, beträgt 50%
Jetzt gibt Dir Moritz die zusätzliche Information: "Die geworfene Zahl ist durch 3 teilbar!"
Bei abhängigen Ereignissen hilft Dir eine solche Vorinformation; die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Du richtig rätst, wächst.
Bei unabhängigen hilfts Dir nix: Du rätst so oder so mit derselben Wahrscheinlichkeit.
Und Letzteres trifft hier zu. Du wirst trotz Moritzens Info immer noch nur zu 50% richtig raten.
Aber nimm an, Moritz hätte gesagt: "Die geworfene Zahl ist ungerade."
Dann wüsstest Du: 1, 3 oder 5 wurde geworfen.
Die 3 und die 5 sind Primzahlen.
Wenn Du nun rätst, dass eine Primzahl geworfen wurde, hast Du bereits eine Chance von ca. 67%, dass Du richtig liegst: Diesmal liegt Abhängigkeit vor!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Do 20.04.2006 | | Autor: | m.a.x. |
cool dankeschön.
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