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| Aufgabe | Lösen Sie die stochastische Differentialgleichung:
[mm] dr_{t} = \kappa(\theta-r_{t}) + \sigma\wurzel{r_{t}}dz_{t} [/mm]
und bestimmen Sie
[mm] E[r_{t}|r_{s}] [/mm] und Var [mm] [r_{t}|r_{s}] [/mm] wobei t [mm] \in [/mm] [s,T]
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dz ist ein Wiener Prozess
Ich glaube Lösung und Erwartungswert stimmen bei mir, mit der Varianz habe ich aber so meine Probleme. Bisher habe ich folgendes gerechnet:
Zunächst habe ich die Gleichung mit dem "Integrationsfaktor" [mm] e^{\kappa t} [/mm] multipliziert:
(1) [mm] e^{\kappa t}dr_{t} = e^{\kappa t}\kappa(\theta-r_{t}) + e^{\kappa t}\sigma\wurzel{r_{t}}dz_{t} [/mm]
Und dann [mm] d(e^{\kappa t}r_{t}) [/mm] betrachtet:
(2) [mm] d(e^{\kappa t}r_{t}) = \kappa e^{\kappa t}r_{t}dt + e^{\kappa t}dr_{t} [/mm]
Sodann habe ich den letzten Faktor in (2) durch (1) ersetzt:
[mm] d(e^{\kappa t}r_{t}) = \kappa e^{\kappa t}r_{t}dt + e^{\kappa t}\kappa(\theta-r_{t}) + e^{\kappa t}\sigma\wurzel{r_{t}}dz_{t} \Rightarrow d(e^{\kappa t}r_{t}) = e^{\kappa t}\kappa \theta + e^{\kappa t}\sigma\wurzel{r_{t}}dz_{t} [/mm]
Itô-Integration ergibt:
[mm] e^{\kappa t}r_{t} [/mm] = [mm] r_{s}e^{\kappa s} [/mm] + [mm] \integral_{s}^{t}{e^{\kappa \tau}\kappa \theta d\tau} [/mm] + [mm] \integral_{s}^{t}{e^{\kappa \tau}\sigma\wurzel{r_{\tau}}dz_{\tau}}
[/mm]
[mm] e^{\kappa t}r_{t} [/mm] = [mm] r_{s}e^{\kappa s} [/mm] + [mm] \theta (e^{\kappa t} [/mm] - [mm] e^{\kappa s}) [/mm] + [mm] \integral_{s}^{t}{e^{\kappa \tau}\sigma\wurzel{r_{\tau}}dz_{\tau}}
[/mm]
[mm] r_{t} [/mm] = [mm] \theta [/mm] + [mm] e^{-\kappa(t-s)}(r_{s}-\theta) [/mm] + [mm] e^{-\kappa t}\integral_{s}^{t}{e^{\kappa \tau}\sigma\wurzel{r_{\tau}}dz_{\tau}} [/mm]
Soweit meine Lösung für die SDG.
Erwartungswert ist dann einfach:
[mm] E[r_{t}|r_{s}] = \theta + e^{-\kappa(t-s)}(r_{s}-\theta) [/mm]
Nun aber zur Varianz. Um es mir einfacher zu machen, nehme ich an [mm] \theta [/mm] = 0, denn das sollte keinen Einfluss auf die Varianz haben.
Dann rechne ich:
Var [mm] [r_{t}|r_{s}] [/mm] = [mm] E[r_{t}^2|r_{s}] [/mm] - [mm] E[r_{t}|r_{s}]^2 [/mm] mit [mm] E[r_{t}|r_{s}] [/mm] = [mm] e^{-\kappa(t-s)}r_{s}
[/mm]
[mm] E[r_{t}|r_{s}]^2 [/mm] = [mm] e^{-2\kappa(t-s)}r_{s}^2
[/mm]
[mm] E[r_{t}^2|r_{s}] [/mm] = [mm] E[(e^{-\kappa(t-s)}r_{s} [/mm] + [mm] e^{-\kappa t}\integral_{s}^{t}{e^{\kappa \tau}\sigma\wurzel{r_{\tau}}dz_{\tau}})^2|r_{s}]
[/mm]
[mm] E[r_{t}^2|r_{s}] = E[e^{-2\kappa(t-s)}r_{s}^2 + 2*e^{-\kappa(t-s)}r_{s}*e^{-\kappa t}\integral_{s}^{t}{e^{\kappa \tau}\sigma\wurzel{r_{\tau}}dz_{\tau}} + e^{-2\kappa t}\integral_{s}^{t}{e^{2\kappa \tau}\sigma^2r_{\tau}dz_{\tau}^2}|r_{s}] [/mm]
Hier weiß ich nicht mehr so recht weiter. Wie werde ich die Integrale los?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 18.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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