Stoch. Differentialgleichung < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Landgraf |
| Aufgabe | Lösen Sie die stoch. Differentialgleichung
[mm] dX_{t} [/mm] = [mm] c*X_{t}dt [/mm] + [mm] \sigma*dW_{t} [/mm] |
W ist hierbei der Wiener Prozess, X eine Funktion von t und W.
Als Nichtmathematiker bin ich kein Spezialist in Differenzialgleichungen. Mein Ansatz ist mit Ito's Lemma:
[mm] dX_{t} [/mm] = [mm] \bruch{\partial X_{t}}{\partial t}*dt [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\partial^2 X_{t}}{\partial^2 W_{t}}*dt [/mm] + [mm] \bruch{\partial X_{t}}{\partial W_{t}}*dW_{t} [/mm]
Hieraus schließe ich, dass offensichtlich
[mm] \bruch{\partial X_{t}}{\partial W_{t}}*dW_{t} [/mm] = [mm] \sigma*dW_{t}\Rightarrow \bruch{\partial X_{t}}{\partial W_{t}} [/mm] = [mm] \sigma [/mm] (1)
Dann wäre [mm] \bruch{\partial^2 X_{t}}{\partial^2 W_{t}} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \bruch{\partial X_{t}}{\partial t} [/mm] = [mm] c*X_{t} [/mm] (2)
[mm] X_{t} [/mm] = [mm] e^{ct} [/mm] erfüllt (2), [mm] X_{t} [/mm] = [mm] \sigma*W_{t} [/mm] erfüllt (1)
Wie verknüpfe ich aber die beiden Teile?
Additiv geht nicht [mm] X_{t} [/mm] = [mm] e^{ct} +\sigma*W_{t} [/mm] verletzt (2)
Multiplikativ [mm] X_{t} [/mm] = [mm] e^{ct}*\sigma*W_{t} [/mm] verletzt (1)
Oder ist der ganze Ansatz schon falsch?
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Also, im Øksendal steht (Aufgabe 5.4), dass man die Gleichung mit [mm]e^{-t}[/mm] multiplizieren und sich dann mal generell [mm]d(e^{-t} W_t)[/mm] anschauen soll (Ito).
Zur Not steht aber auch die Lösung im Anhang...
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1. Der Ansatz im Buch von Oksend. ist ok. Man nehme f(X,t) = exp(-c*t)*X
und schliesse mit Ito's Lemma, dass
[mm] df(X_t,t) [/mm] = [mm] (-c)*X_t*exp(-c*t) [/mm] + exp(-c*t) * [mm] dX_t. [/mm] Dann
setz man [mm] dX_t [/mm] aus der stochstischen Differentialgleichung ein, so
dass [mm] df(X_t,t) [/mm] = sigma*exp(-c*t) * [mm] dW_t. [/mm] Nun integriert man:
exp(-c*t) * [mm] X_t [/mm] = [mm] \int_0^t [/mm] exp(-c*r) * [mm] dW_r [/mm] (Anfangsbed. [mm] X_0 [/mm] = 0).
Damit erhält man [mm] X_t [/mm] = [mm] \sigma \int_0^t [/mm] exp(c*(t-r)) * [mm] dW_r.
[/mm]
Soweit zu Ito. Da fällt aber das F vom Himmel. Viel einfacher ist:
2. X' = c*X + [mm] \sigma*W' [/mm] . Hier findet man in jeder Vorlesung
über gewöhnliche Differentialgleichungen die Lösung
über einen exponaentialansatz mit Variation der Konstanten. Also
[mm] X_t [/mm] = [mm] \sigma \int_0^t [/mm] exp(c*(t-r)) * W'_r * dr. Schreibt man dann
W'_r*dr = [mm] dW_r, [/mm] war's das.
2^*. Schönheitsfehler: W'_r existiert fast sicher in keinem Punkt.
Das macht aber nichts, denn man kann die sache durch stochstische
Distributionen reparieren, wennn man will (Ingenieure betrachten
das intuitiv so. Weiteres Heilmittel: Differenzieren von
[mm] X_t [/mm] = [mm] \sigma \int_0^t [/mm] exp(c*(t-r)) * W'_r * dr nach der Produktregel
liefert die obige Differentialgleichung. Um das W' zu vermeiden
integriert man partiell unter Verwendung von dW statt W' dt.
Das ist der ältere Trick, der überigens auf Norbert Wiener zurückgeht.
Man braucht also Ito's lemma hier nicht wirklich. Eine schöne
Darstellung dieses Zugangs findet sich im Buch von ed. Nelson
(Dynamical Theories of Brownian Motion).
4. Deie Lösung [mm] X_t [/mm] heisst Ornstein-Uhlenbeck Prozess
(s. Wax, selected Papers on Noise ....) und beschreibt
die Geschwindigkeit Brownscher Teilchen.
5. Als Dozent würde ich diese Dinge allerdings nicht
in Übungsaufgaben verpacken.
Sorry, wenn ich vielleicht irgendwo ungenau war.
Bei mir ist es mit den Stoch. DGL eine Weile her.
Nichts für ungut, der schlunzbuns
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Landgraf |
Da ich mich mit gewöhnlichen Differentialgleichungen nicht auskenne, muss ich es mit 1 statt dem "viel einfacheren" 2 versuchen:
Mir ist noch unklar, wohin denn das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus Ito's Lemma verschwunden ist.
[mm] df(X_{t},t) [/mm] = [mm] f'(X_{t})dX_{t} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*f''(X_{t})dt
[/mm]
Muss wohl etwas anders angewandt werden?!
Lässt sich denn das Integral in der Lösung für [mm] X_{t} [/mm] noch auflösen?! Bin mir immer etwas unsicher was die Integration nach [mm] W_{t} [/mm] betrifft.
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Hallo! Es ist f(t,X) = X e^(-c*t) also nach X zweimal
differenziert gibt dies Null, daher verschwindet
der Penalty term bei Ito.
Grüße Schlunzbuns
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