Stirling Zahlen, Basistransfor < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Do 07.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Die Polynome mit komplexen Koeffizienten bilden einen Vektorraum über [mm] \IC.
[/mm]
In dem Vektorraum bilden die Polynome [mm] (x^n)_{n=0}^\infty [/mm] als auch Polynome [mm] (x^{\underline{n}})_{n=0}^\infty [/mm] eine Basis.
Die Gleichung [mm] x^k [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n S_{k,i} x^{\underline{i}} [/mm] besagt, dass die entsprechende Basistransformation die Stirlingzahlen zweiter Art beschreiben.
wobei [mm] n^{\underline{i}}=n*(n-1)..*(n-i+1) [/mm] |
Nun hat der lehrer dazugeschrieben
[mm] (S_{k,i})_{k,i} [/mm] * [mm] \vektor{1\\ x \\ \vdots \\ x^{\underline{k}}} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ x \\ \vdots \\ x^k}
[/mm]
Jetzt meinte er mit [mm] S_{k,i} [/mm] sein eine Matrix gemeint. Welche Matrix ist da gemeint? Ich dachte vorher das wären Skalare mit mit den Vektor multipliziert werden??Oder hab ich was falsch verstanden bez Matrix in den Zusammenhang?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Do 07.02.2013 | | Autor: | meili |
> Die Polynome mit komplexen Koeffizienten bilden einen
> Vektorraum über [mm]\IC.[/mm]
> In dem Vektorraum bilden die Polynome [mm](x^n)_{n=0}^\infty[/mm]
> als auch Polynome [mm](x^{\underline{n}})_{n=0}^\infty[/mm] eine
> Basis.
> Die Gleichung [mm]x^k[/mm] = [mm]\sum_{i=0}^n S_{k,i} x^{\underline{i}}[/mm]
> besagt, dass die entsprechende Basistransformation die
> Stirlingzahlen zweiter Art beschreiben.
>
> wobei [mm]n^{\underline{i}}=n*(n-1)..*(n-i+1)[/mm]
> Nun hat der lehrer dazugeschrieben
> [mm](S_{k,i})_{k,i}[/mm] * [mm]\vektor{1\\ x \\ \vdots \\ x^{\underline{k}}}[/mm]
> = [mm]\vektor{1\\ x \\ \vdots \\ x^k}[/mm]
> Jetzt meinte er mit
> [mm]S_{k,i}[/mm] sein eine Matrix gemeint. Welche Matrix ist da
> gemeint? Ich dachte vorher das wären Skalare mit mit den
> Vektor multipliziert werden??Oder hab ich was falsch
> verstanden bez Matrix in den Zusammenhang?
Die einzelnen [mm] $S_{k,i}$ [/mm] sind Skalare (aus den Gleichungen [mm]x^k[/mm] = [mm]\sum_{i=0}^n S_{k,i} x^{\underline{i}}[/mm] )
Sie werden zu der Matrix [mm](S_{k,i})_{k,i}[/mm] zusammengefasst.
Wobei es etwas Konfusion mit den Indices gibt.
Eine Zeile aus [mm](S_{k,i})_{k,i}[/mm] (skalar-)multipliziert mit dem Vektor [mm]\vektor{1\\ x \\ \vdots \\ x^{\underline{k}}}[/mm] ergibt die
entsprechende Komponente des Vektors [mm]\vektor{1\\ x \\ \vdots \\ x^k}[/mm].
Dies ist nur eine andere Schreibweise der Gleichung [mm]x^k[/mm] = [mm]\sum_{i=0}^n S_{k,i} x^{\underline{i}}[/mm]
für das entsprechende k. (Wobei man hier einen anderen Buchstaben
wählen sollte, der von 0 bis k läuft.)
>
> LG
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Sa 09.02.2013 | | Autor: | quasimo |
danke für die erklärung
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