Stirling Formel < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Di 22.11.2016 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \vektor{an+bn \\ an}=\bruch{(an+bn)!}{(an)!(bn)!}\sim\wurzel{\bruch{a+b}{2\pi*abn}}(\bruch{(a+b)^{a+b}}{a^ab^b})^n [/mm] |
Hallo zusammen,
diese bereitet mir einige schwierigkeiten, daher bin ich auf eure Unterstützung angewiesen.
Bei diese Aufg. sollte man die Stirling Formel anwenden die folgend definiert ist
[mm] log(n!)=nlogn-n+log\wurzel{2\pi*n}+\bruch{B_2}{2*1*n}+...+\bruch{B_m}{m(m-1)n^{m-1}}
[/mm]
Also habe folgendes gemacht:
[mm] \vektor{an+bn \\ an}=\bruch{(an+bn)!}{(an)!(bn)!}=log((an+bn)!)-log(an)-log(bn)
[/mm]
also ist [mm] log((an+bn)!)=(an+bn)log(an+bn)-an-bn+log\wurzel{2\pi*(an+bn)}+...
[/mm]
[mm] log((an)!)=an*log(an)-an+log\wurzel{2\pi*an}+...
[/mm]
[mm] log((bn)!)=bn*log(bn)-bn+log\wurzel{2\pi*bn}+...
[/mm]
dann kann man folgende Terme noch umschreiben:
(an+bn)log(an+bn)=(an+bn)log(n(a+b))=n(a+b)(log(n)+log(a+b))
an*log(an)=an(log(n)+log(a))
bn*log(bn)=bn(log(n)+log(b))
ich bekomme dann am Ende
[mm] ...=n(a+b)log(a+b)-an*log(a)-bn*log(b)+log\wurzel{2\pi(an+bn)}-log\wurzel{2\pi*an}-log\wurzel{2\pi*bn}+...
[/mm]
[mm] =n(a+b)log(a+b)-an*log(a)-bn*log(b)+log\bruch{\wurzel{2\pi(an+bn)}}{2\pi*n\wurzel{ab}}+...
[/mm]
kann mir jemand sagen, ob dasa soweit richtig ist?
dankeschön im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Fr 25.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
das erste 0 nach ic> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\vektor{an+bn \\ an}=\bruch{(an+bn)!}{(an)!(bn)!}\sim\wurzel{\bruch{a+b}{2\pi*abn}}(\bruch{(a+b)^{a+b}}{a^ab^b})^n[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> diese bereitet mir einige schwierigkeiten, daher bin ich
> auf eure Unterstützung angewiesen.
>
> Bei diese Aufg. sollte man die Stirling Formel anwenden die
> folgend definiert ist
>
> [mm]log(n!)=nlogn-n+log\wurzel{2\pi*n}+\bruch{B_2}{2*1*n}+...+\bruch{B_m}{m(m-1)n^{m-1}}[/mm]
>
> Also habe folgendes gemacht:
>
> [mm]\vektor{an+bn \\ an}=\bruch{(an+bn)!}{(an)!(bn)!}=log((an+bn)!)-log(an)-log(bn)[/mm]
so ist das falsch: du musst natürlich links auch log hinschreiben
> also ist
> [mm]log((an+bn)!)=(an+bn)log(an+bn)-an-bn+log\wurzel{2\pi*(an+bn)}+...[/mm]
>
> [mm]log((an)!)=an*log(an)-an+log\wurzel{2\pi*an}+...[/mm]
>
> [mm]log((bn)!)=bn*log(bn)-bn+log\wurzel{2\pi*bn}+...[/mm]
>
> dann kann man folgende Terme noch umschreiben:
>
> (an+bn)log(an+bn)=(an+bn)log(n(a+b))=n(a+b)(log(n)+log(a+b))
>
> an*log(an)=an(log(n)+log(a))
>
> bn*log(bn)=bn(log(n)+log(b))
>
> ich bekomme dann am Ende
>
> [mm]...=n(a+b)log(a+b)-an*log(a)-bn*log(b)+log\wurzel{2\pi(an+bn)}-log\wurzel{2\pi*an}-log\wurzel{2\pi*bn}+...[/mm]
>
> [mm]=n(a+b)log(a+b)-an*log(a)-bn*log(b)+log\bruch{\wurzel{2\pi(an+bn)}}{2\pi*n\wurzel{ab}}+...[/mm]
soweit sieht es richtig aus
ja bis auf den Fehler oben und in Richtung auf die Formel solltest du z.B.
n*(a+b)log(a+b) lieber als [mm] log((a+b)^{n*(a+b)}) [/mm] schreiben
und dann am Ende die Umkehrung von log anwenden.
|
|
|
|
