Stichprobe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Do 10.05.2012 | | Autor: | cluedo |
Hi Forum,
mein problem ist ziemlich simpel, dennoch bin ich mir nicht 100% sicher ob ich auf dem richtigen weg bin. Nehme an, wir haben eine grundgesamtheit [mm] $\{g_1,g_2,\dots,g_n\}$ [/mm] von $n$ elementen. Nun moechte ich eine stichprobe der groesse $k$ aus dieser gesamtheit ziehen wobei jedes element in der Grundgesamtheit eine gewisse wahrscheinlichkeit [mm] $p_i$ [/mm] hat gezogen zu werden. Was ich suche ist die wahrscheinlichkeit, dass zum beispiel element [mm] $g_2$ [/mm] teil der stichprobe ist.
Fuer den Fall $k=2$ habe ich gedacht ich muss einfach nur die summe [mm] $p_1p_2 [/mm] + [mm] p_2*p_3 +p_2p_4+\cdots p_2p_n$ [/mm] berechnen [mm] ($p_i$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit das [mm] $g_i$ [/mm] gezogen wird). allerdings wuerde das sich vereinfachen zu [mm] $p_2(1-p_2)$, [/mm] da [mm] $\sum_i p_i=1$ [/mm] ist. Das sieht mir aber nicht korrekt aus.
Koennte mir jemand hier einen kleinen tipp geben wie ich hier vorgehen muss? Danke im voraus.
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Hallo,
> Hi Forum,
> mein problem ist ziemlich simpel, dennoch bin ich mir
> nicht 100% sicher ob ich auf dem richtigen weg bin. Nehme
> an, wir haben eine grundgesamtheit [mm]\{g_1,g_2,\dots,g_n\}[/mm]
> von [mm]n[/mm] elementen. Nun moechte ich eine stichprobe der
> groesse [mm]k[/mm] aus dieser gesamtheit ziehen wobei jedes element
> in der Grundgesamtheit eine gewisse wahrscheinlichkeit [mm]p_i[/mm]
> hat gezogen zu werden. Was ich suche ist die
> wahrscheinlichkeit, dass zum beispiel element [mm]g_2[/mm] teil der
> stichprobe ist.
> Fuer den Fall [mm]k=2[/mm] habe ich gedacht ich muss einfach nur
> die summe [mm]p_1p_2 + p_2*p_3 +p_2p_4+\cdots p_2p_n[/mm] berechnen
> ([mm]p_i[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit das [mm]g_i[/mm] gezogen wird).
> allerdings wuerde das sich vereinfachen zu [mm]p_2(1-p_2)[/mm], da
> [mm]\sum_i p_i=1[/mm] ist. Das sieht mir aber nicht korrekt aus.
Das Problem ist hier schon die Modellierung.
Eine Stichprobe aus mehreren Elementen zu ziehen kann man sich ja auch immer so vorstellen, dass man die Elemente hintereinander zieht.
Du musst dich jetzt fragen, was passiert, nachdem man aus deiner Grundgesamtheit das Element [mm] $g_2$ [/mm] "herausgezogen" hat. Dann ändern sich ja automatisch alle Wahrscheinlichkeiten, die anderen Elemente zu ziehen [mm] ($g_2$ [/mm] kann man ja nicht mehr ziehen), weil insgesamt Wahrscheinlichkeit 1 herauskommen muss.
Wenn es in deiner Aufgabe aber so gemeint ist, dass das Element nicht "herausgezogen wird", sondern die Grundgesamtheit immer gleich bleibt (man also [mm] $g_2$ [/mm] "zuruecklegt"), dann ist deine Berechnung richtig.
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:36 Fr 11.05.2012 | | Autor: | cluedo |
danke fuer deinen Tipp. Es handelt sich in dem beispiel um eine stichprobe ohne zuruecklegen. Das heisst also dass ich die wahrscheinlichkeiten normalisieren muss. Aber wie? Zum beispiel hat das event [mm] $\{g_1,g_2\}$ [/mm] die wahrscheinlichkeit [mm] $p_1\cdot p_2/(p_2+p_3+\cdots p_n)$, [/mm] richtig? Aber wie komme ich dann auf die allgmeine wahrscheinlichkeit, dass [mm] $g_2$ [/mm] teil einer zwei-elementigen (oder k-elementigen) stichprobe ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 13.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:10 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Verstehe ich die Frage richtig, dass beim k-maligen Ziehen [mm] g_2 [/mm] mindestens einmal enthalten sein soll. Dann geht man über das Gegenereignis: keinmal enthalten.
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