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| Aufgabe | Ich bin dabei mir die Steuerbarkeit anhand eines Beispiels an einem zeitdiskreten System zu verdeutlichen.
Dazu hab ich mir ein Beispiel aus dem Internet besorgt, das Beispiel findet ihr auf S.9.
http://www.unibw.de/lrt15/Institut/lehre/unterlagen/DigReg/DR_V7.pdf
Folgendes System ist gegeben:
[mm] A=\pmat{0 & 1\\0 &0} [/mm] und [mm] b=\pmat{1\\0}
[/mm]
[mm] x(0)=\vektor{1\\1}, u_{k}=?
[/mm]
Die Definition sagt, dass ein zeitdiskretes System vollständig steuerbar ist, wenn man es ausgehend vom einem beliebiegen Anfangszustand [mm] x_0 [/mm] durch eine endliche Eingangsfolge u(0),..u(N) in den Nullzustand x(N)=0 überführt werden kann.
1)
Muss dieser "Endzustand" immer den Nullzustand sein oder kann das auch ein beliebiger Punkt sein?
2)
Ausgehend vom oberen Beispiel mit dem gegebenen A und b
wie wird das rechnerisch gemacht? |
zu 1)
Ich würde sagen nein, da ansonsten das System nicht vollständig steuerbar wäre. Wieso aber spricht man immer vom Nullzustand?
zu 2)
Ich weiß ehrlich nicht gesagt wie ich das rechnerisch für das oben gegebene Beispiel nachrechnen kann.
Mein Ansatz ist folgendermaßen:
Auf der linken Seite des Gleichungssystems steht ja der zu erreichende Nullzustand, auf der rechten Seite des Gls das lineare System
[mm] x_{End}=0
[/mm]
Das zeitdiskrete System:
x(k+1)=A*x(k)+b*u(k)
Jetzt steht im Beispiel [mm] x(0)=\vektor{1\\1}, [/mm] ist damit der der Anfangszustand gemeint?
Mein Ziel ist es also vom Anfangszustand eine geeignete Folge von [mm] u_{k} [/mm] in k Schritten zu ermitteln, so dass der Nullzustand erreicht werden kann.
So dann beginne ich ja erst bei
k=0
Anfangszustand [mm] x(0)=\vektor{1\\1}
[/mm]
k=1
x(1)=A*x(0)+b*u(0)
[mm] x(1)=\pmat{0 & 1\\0 &0}*\vektor{1\\1}+\pmat{1\\0}*u_{0}
[/mm]
[mm] 0=0*1+1*1+1*u_{0}
[/mm]
[mm] 0=0*1+0*1+0*u_{0}
[/mm]
für [mm] u_{0}=-1, [/mm] hätte ja nach dem 1-ten Schritt schon den Nullzustand erreicht oder nicht?
Ich kenne noch eine andere Überprüfungsmöglichkeit (nach Kalman), da heisst es, dass das System (A,b) vollständig steuerbar ist ,wenn der Rang der Steuerbarkeitsmatrix St "n" entspricht.
Hier lautet die [mm] St=\pmat{1&0\\0&0}, [/mm] das dem rang(St)=1 entspricht und somit ungleich n ist, da n=2.
Sollte nach dieser Überprüfung nicht steuerbar sein. Irgendwie passen beide Ansätze nicht überein.
Kann jemand meine Denkweise bzw. Rechenschritte überprüfen und mich aufklären, wo mein Fehler ist?
Das wäre sehr nett.
EDIT: Ich sehe grad das bei mir der Stelleingriffsvektor [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und nicht [mm] \vektor{0\\1} [/mm] wie im Beispiel in der Folie ist. Die Rechnung soll aber trotzdem mal für den Stelleingriffsvektor [mm] \vektor{1\\0} [/mm] erfolgen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo energizer,
bei mir ist die RT zwar schon gute dreißig Jahre her, aber eine solch strikte Definition wie Deine kenne ich trotzdem nicht.
Steuerbar war bei uns ein System, wenn ein bestimmter Zustand eines Systems durch Stellsignale in endlicher Zeit in einen anderen, neuen Zustand überführt werden konnte. Dies muß keineswegs ein Nullzustand sein.
Deswegen erübrigt sich auch aus meiner Sicht die Angabe eines Rechenwegs, aber vieleicht gibt es ja noch andere Definitionen hierzu, weswegen ich die Frage mal auf halbbeanwortet lasse.
Viele Grüße,
Infinit
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Hi, deine Aussage entspricht ja meiner Definition.
Man muss ja noch prüfen können, dass man den neuen Zustand in einer endlichen Zeit wirklich erreichen kann, durch das Vorgeben der entsprechenden Stellsignale.
Das ist ja der Knackpunkt bei mir.
Deswegen hatte ichs über zwei Möglichkeiten probiert. Wobei ich für das obige System als neuer Zustand den Nullzustand [mm] \vektor{0\\0} [/mm] und als Anfangszustand [mm] \vektor{1\\1}ausgewählt [/mm] hab.
In der 1. Variante hab ich das Stellsignal für k-Schritte vorgegeben um zu gucken, ob ich den Nullzustand erreichen kann.
Bei der 2. Variante hab ich das nach dem Satz von Kalman geprüft.
Damit kann man nachprüfen ob das System vollständig steuerbar ist.
Obowhl ich in der 1.Variante für einen endlichen Zeitwert in den Urpsrung komme, sagt mir die 2.Variante, dass das System nicht steuerbar ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 25.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 25.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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