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| Aufgabe | Gegeben sei
eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] reeller Zahlen
und eine reellwertige Funktion [mm] $f:D\to\mathbb{R}$ [/mm]
auf der Menge [mm] $D=\{0\}\cup\{\frac{1}{n}|n\in\mathbb{N}\}$ [/mm]
mit der Eigenschaft [mm] $f(\frac{1}{n})=a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Man gebe eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass $f$ stetig ist. |
Hallo,
meine Lösung wäre die folgende:
für die Menge $D$ gilt ja: [mm] $0<\frac{1}{n}<1$, [/mm] d.h. $f$ ist genau dann stetig, wenn [mm] $0
Äquivalent: $f$ stetig genau dann wenn, [mm] $0<\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)<1$.
[/mm]
Für Korrekturen und Tipps wäre ich sehr dankbar.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei
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> eine Folge [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] reeller Zahlen
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> und eine reellwertige Funktion [mm]f:D\to\mathbb{R}[/mm]
>
> auf der Menge [mm]D=\{0\}\cup\{\frac{1}{n}|n\in\mathbb{N}\}[/mm]
>
> mit der Eigenschaft [mm]f(\frac{1}{n})=a_n[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm].
>
> Man gebe eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür
> an, dass [mm]f[/mm] stetig ist.
> Hallo,
>
> meine Lösung wäre die folgende:
>
> für die Menge [mm]D[/mm] gilt ja: [mm]0<\frac{1}{n}<1[/mm], d.h. [mm]f[/mm] ist genau
> dann stetig, wenn [mm]0
Das ist doch Unsinn !
> Äquivalent: [mm]f[/mm] stetig genau dann wenn,
> [mm]0<\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)<1[/mm].
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> Für Korrekturen und Tipps wäre ich sehr dankbar.
In jedem Punkt 1/n ist f stetig, denn 1/n ist ein isolierter Punkt von D.
Bleibt noch: [mm] x_0=0.
[/mm]
f ist also auf D stetig [mm] \gdw [/mm] f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig.
Zeige, dass das äquivalent ist zu: [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen f(0)
FRED
>
> Grüße
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Hallo FRED,
vielen Dank für die Antwort. Den Begriff des isolierten Punkts hatten wir noch nicht, aber ich habe ihn nachgesehen.
Grüße
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