Stetigkeitsbegriff < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 25.04.2007 | | Autor: | erdoes |
Hallo,
ich habe folgende Schwierigkeit mit folgendem Beweis :
Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X [mm] \to [/mm] Y heisst stetig in dem Punkt x [mm] \in [/mm] X, wenn das Urbild [mm] f^{-1}(V) [/mm] jeder Umgebung V von f(x) eine Umgebung von x ist. Beweisen sie die Äquivalenz der Aussagen :
a) f : X [mm] \to [/mm] Y ist stetig
b) f ist in jedem Punkt stetig
Kann mir bitte jemand helfen ?
MfG
erdoes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Erdös tut sich schwer mit Topologie, sein Fach war eher Zahlentheorie 
Stetigkeit heißt, das Urbild einer offenen Menge ist offen a) sei f : X [mm]\to[/mm] Y stetig
eine Umgebung V von f(x) beihaltet eine offene Menge in Y daher ist wegen der Stetigkeit von f das Urbild dieser offener Menge ebenfalls offen und im Urbild von V enthalten. Daher ist das Urbild von V eine Umgebung von x.
daher bewiesen a) [mm] \Rightarrow [/mm] b)
b) Sei nun f ist in jedem Punkt stetig
und sei V eine Offene Menge in X, dann ist V eine Umgebung eines bestimmten [mm] f(x_{0}) [/mm] dh. das Urbild von V ist daher eine Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] beinhaltet also eine offene Menge um [mm] x_{0}
[/mm]
Die Vereinigungsmenge von offenen Mengen ist offen. d.h. ich kann obiges für alle [mm] f(x_{0}) [/mm] aus V anwenden bekommt so das Urbild als Vereingung von offenen Mengen.
daher bewiesen b) [mm] \Rightarrow [/mm] a)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Mi 25.04.2007 | | Autor: | erdoes |
Hallo wauwau,
vielen Dank für die rasche Antwort.
MfG
erdoes
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