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Hallo...
Ich lerne gerade für eine Klausur die Stetigkeit. Bei den Aufgaben bin ich mir noch teilweise unsicher, deswegen stelle ich sie mal hier hinein, wäre prima, wenn sie jemand korrigieren würde 
1)
Behauptung: f : [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm]
f(x):= [mm] \bruch{x}{|x|} [/mm] für x [mm] \not=0
[/mm]
f(x):= 0 für x = 0
ist in x = 0 unstetig.
Beweis:
Ich wähle eine Nullfolge [mm] (x_n) [/mm] und zeige:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(x_n) \not= [/mm] 0.
Also: [mm] (a_n, [/mm] n [mm] \in \IN, a_n:= \bruch{1}{n}).
[/mm]
Es gilt:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(a_n) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{|n|}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{1}{n} \bruch{|n|}{1} [/mm] = 1 (da n [mm] \in \IN) \not= [/mm] 0.
Wäre das so korrekt aufgeschrieben?
2)
Behauptung: f: (0, [mm] \infty) \rightarrow \IR,
[/mm]
f(x):= [mm] \wurzel{x}
[/mm]
ist gleichmäßig stetig.
Beweis:
Ich setze mit dem Epsilon-Delta-Kriterium an und zeige, dass es so ein Delta, nur in Abhängigkeit von Epsilon gibt, also nicht in Abhängigkeit von einem Punkt a gibt. (So muss ich da doch rangehen, oder???)
Also:
Es sei a [mm] \in (0,\infty) [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] >0 beliebig vorgegeben.
[mm] |f(a)-f(x)|=|\wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{x}| \le |\wurzel{a-x}| \le |\wurzel{\delta}| [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also, wähle: [mm] \delta [/mm] := [mm] \varepsilon^2.
[/mm]
Kann man diese Abschätzung auch im Betrag machen. So die Wurzelabschätzung kenne ich nur ohne Betrag, sie müsste so aber auch stimmen, oder???
3)
Behauptung:
Die Funktion f: [mm] \IR \rightarrow \IR,
[/mm]
f(x):= [mm] \sin \bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
f(x):= 0 für x = 0
ist im Punkt x = 0 unstetig.
Beweis (habe ich aus einem Buch ud verstehe ihn an einer Stelle nicht...):
Wieder mit dem Folgenkriterium:
Wir wählen eine geeignete Nullfolge: [mm] (a_n, [/mm] n [mm] \in \IN, a_n:= \bruch{2}{(4n+1)\pi}).
[/mm]
Es gilt:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(a_n) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\sin \bruch{1}{\bruch{2}{(4n+1)\pi}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}\sin \bruch{(4n+1)\pi}{2}
[/mm]
und das soll 1 sein.... ich verstehe aber nicht, wieso dann noch n [mm] \rightarrow \infty [/mm] betrachtet wird, das stimmt dann ja gar nicht, es müsste doch n [mm] \rightarrow [/mm] 0 heißen, damit es stimmen würde.... so haben wir das Folgenkriterium aber nicht definiert... An dieser Stelle stecke ich fest... Das wäre mir besonders wichtig zu klären, also wieso man bei der Grenzwertbetrachtung manchmal von n [mm] \rightarrow \infty [/mm] nach n [mm] \rightarrow [/mm] 0 übergeht... das sehe ich nicht ein, leider.
viele Grüße, dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 So 10.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo dancing estrella
> Hallo...
>
> Ich lerne gerade für eine Klausur die Stetigkeit. Bei den
Löblich
> Aufgaben bin ich mir noch teilweise unsicher, deswegen
> stelle ich sie mal hier hinein, wäre prima, wenn sie jemand
> korrigieren würde
>
> 1)
> Behauptung: f : [mm]\IR \rightarrow \IR,[/mm]
> f(x):= [mm]\bruch{x}{|x|}[/mm] für x [mm]\not=0[/mm]
> f(x):= 0 für x = 0
> ist in x = 0 unstetig.
>
> Beweis:
> Ich wähle eine Nullfolge [mm](x_n)[/mm] und zeige:
> [mm]\limes_{n \to \infty}f(x_n) \not=[/mm] 0.
>
> Also: [mm](a_n,[/mm] n [mm]\in \IN, a_n:= \bruch{1}{n}).[/mm]
> Es gilt:
> [mm]\limes_{n \to \infty}f(a_n)[/mm] = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{|n|}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{1}{n} \bruch{|n|}{1}[/mm] = 1 (da
> n [mm]\in \IN) \not=[/mm] 0.
> Wäre das so korrekt aufgeschrieben?
>
An sich schon. Ich würde aber einheitlich mit [mm] $x_n$ [/mm] arbeiten. (Nicht oben behaupten, du wählst [mm] $x_n$, [/mm] um dann unten aber [mm] $a_n$ [/mm] zu nehmen) Ist aber nur ein Detail, was an der Beweisidee ja nichts ändert!
>
> 2)
> Behauptung: f: (0, [mm]\infty) \rightarrow \IR,[/mm]
> f(x):=
> [mm]\wurzel{x}[/mm]
> ist gleichmäßig stetig.
>
> Beweis:
> Ich setze mit dem Epsilon-Delta-Kriterium an und zeige,
> dass es so ein Delta, nur in Abhängigkeit von Epsilon gibt,
> also nicht in Abhängigkeit von einem Punkt a gibt. (So muss
> ich da doch rangehen, oder???)
>
Ja, sehe ich auch so!
> Also:
> Es sei a [mm]\in (0,\infty)[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] >0 beliebig
> vorgegeben.
> [mm]|f(a)-f(x)|=|\wurzel{a}[/mm] - [mm]\wurzel{x}| \le |\wurzel{a-x}| \le |\wurzel{\delta}|[/mm]
> = [mm]\varepsilon.[/mm]
> Also, wähle: [mm]\delta[/mm] := [mm]\varepsilon^2.[/mm]
> Kann man diese Abschätzung auch im Betrag machen. So die
> Wurzelabschätzung kenne ich nur ohne Betrag, sie müsste so
> aber auch stimmen, oder???
>
ich denke, du solltest einerseits die Betragsstriche korrekt setzen. Die gehören unter die Wurzel!
Dann solltest du beachten, dass man üblicherweise mit offenen Umgebungen arbeitet. Also nicht [mm] $\le$, [/mm] sondern streng kleiner. Dann fehlt noch der Hinweis, dass $|a-x| < [mm] \delta$ [/mm] ist. Ich würde die Zeile also etwa so hinschreiben:
[mm]|f(a)-f(x)|=|\wurzel{a}-\wurzel{x}|<\wurzel{|a-x|}<\wurzel{\delta}=\varepsilon.[/mm] für [mm] $|a-x|<\delta$
[/mm]
Beachte auch, dass die Betragsstriche bei [mm] $\wurzel{\delta}$ [/mm] unnötig sind, da eine Wurzel ja per Definition nichtnegativ ist.
> 3)
> Behauptung:
> Die Funktion f: [mm]\IR \rightarrow \IR,[/mm]
> f(x):= [mm]\sin \bruch{1}{x}[/mm]
> für x [mm]\not=[/mm] 0
> f(x):= 0 für x = 0
> ist im Punkt x = 0 unstetig.
>
> Beweis (habe ich aus einem Buch ud verstehe ihn an einer
> Stelle nicht...):
> Wieder mit dem Folgenkriterium:
> Wir wählen eine geeignete Nullfolge: [mm](a_n,[/mm] n [mm]\in \IN, a_n:= \bruch{2}{(4n+1)\pi}).[/mm]
>
> Es gilt:
> [mm]\limes_{n \to \infty}f(a_n)[/mm] = [mm]\limes_{n \to \infty}\sin \bruch{1}{\bruch{2}{(4n+1)\pi}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n \to \infty}\sin \bruch{(4n+1)\pi}{2}[/mm]
> und das
> soll 1 sein.... ich verstehe aber nicht, wieso dann noch n
> [mm]\rightarrow \infty[/mm] betrachtet wird, das stimmt dann ja gar
> nicht, es müsste doch n [mm]\rightarrow[/mm] 0 heißen, damit es
> stimmen würde.... so haben wir das Folgenkriterium aber
> nicht definiert... An dieser Stelle stecke ich fest... Das
> wäre mir besonders wichtig zu klären, also wieso man bei
> der Grenzwertbetrachtung manchmal von n [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> nach n [mm]\rightarrow[/mm] 0 übergeht... das sehe ich nicht ein,
> leider.
>
Nein, es ist schon korrekt. Schau nochmals die Definition der [mm] $a_n$ [/mm] an. [mm] $a_n$ [/mm] geht gegen Null, wenn $n_$ gegen unendlich läuft!
Am besten machst du mal eine Zeichnung. Die Funktion sieht ja aus wie die Sinusfunktion, die aber gegen Null hin immer enger wird. (Also populär ausgedrückt: unendlich oft oszilliert). Und die Funktionswerte deiner Folge sind gerade die Maxima der Funktion. Damit sind in jeder delta-Umgebung von Null unendlich viele Funktionswerte gleich eins.
Wenn das noch unklar sein sollte, meldest du dich nochmals? Es ist spät in der Nacht, und ich halte mich deshalb etwas kurz! Wenn du magst, fasse ich das schon noch in etwas mehr Worte!
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo Paulus!
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe da noch eine Anmerkung zur "Wurzelaufgabe":
Wir haben mal gezeigt, dass
[mm] \wurzel{a} [/mm] - [mm] \wurzel{x} [/mm] < [mm] \wurzel{a-x}
[/mm]
gilt. Oh... mir fällt (beim Nachlesen gerade auf, dass hierbei 0 < x < a vorausgesetzt wurde. Hmmm... Deswegen die Betragsstriche unter die Wurzel??? Bei den [mm] \le [/mm] - Zeichen gebe ich dir Recht
Aber bei der "Sinusaufgabe" scheitere ich immer noch.
Ich schreibe mal das Folgenkriterium für die Stetigkeit hin:
Es sei f: (a,b) [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion. f ist genau dann im Punkt [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) stetig, falls für jede Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] \limes_{n \to \infty}a_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] gilt:
[mm] f(\limes_{ n \to \infty}a_n) [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty}f(a_n).
[/mm]
Zum Beispiel klappt das bei folgender Funktion prima:
Behauptung:
f: [mm] \IR \rightarrow \IR,
[/mm]
f(x):= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
f(x):= 1 für x = 0
ist im Punkt x = 0 unstetig.
Beweis:
Ich gebe eine Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] an, für die gilt:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(a_n) \not= [/mm] 0.
Also:
Für die Nullfolge [mm] (a_n, [/mm] n [mm] \in \IN, a_n:= \bruch{1}{n}) [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n \to \infty}f(a_n)=\limes_{n \to \infty}\bruch{1}{\bruch{1}{n}}=\limes_{n \to \infty} [/mm] n = [mm] \infty \not= [/mm] 0.
Da habe ich jetzt ganz stur die Definition eingesetzt. Mir ist es wirklich unklar, wieso die im Buch plötzlich den Limes für n [mm] \to [/mm] 0 betrachten...
Dann noch eine Frage:
Muss dieses [mm] \delta [/mm] eigentlich eindeutig bestimmt sein? Bei einer Aufgabe musste ich letztendlich [mm] \delta [/mm] über quadratische Ergänzung bestimmen und habe zwei [mm] \delta [/mm] 's bekommen. Ist das überhaupt legitim?
Das war es (erstmal) mit den Fragen...
viele Grüße,
dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo dancingestrella,
> Aber bei der "Sinusaufgabe" scheitere ich immer noch.
> Ich schreibe mal das Folgenkriterium für die Stetigkeit
> hin:
> Es sei f: (a,b) [mm]\rightarrow \IR[/mm] eine Funktion. f ist genau
> dann im Punkt [mm]x_0 \in[/mm] (a,b) stetig, falls für jede Folge
> [mm](a_n)[/mm] mit [mm]\limes_{n \to \infty}a_n[/mm] = [mm]x_0[/mm] gilt:
> [mm]f(\limes_{ n \to \infty}a_n)[/mm] = [mm]\limes_{n \to \infty}f(a_n).[/mm]
Naja, mit der Folge aus der Musterlösung hast du ja gerade ein Folge für die für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt, dass [mm] $f(a_n)=1$, [/mm] und somit [mm] $\lim_{n\to\infty}f(a_n)\neq [/mm] f(0)=0$.
> Da habe ich jetzt ganz stur die Definition eingesetzt. Mir
> ist es wirklich unklar, wieso die im Buch plötzlich den
> Limes für n [mm]\to[/mm] 0 betrachten...
Ich gehe mal davon aus, dass dich die Schreibwiese [mm] $a_n \to [/mm] 0$ verwirrt hat, es gibt zwei gleichwertige Formulierungen:
a) [mm] $\lim_{n\to \infty}a_n=0$
[/mm]
b) [mm] $a_n\to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
In beiden Fällen soll ausgedürckt werden, dass man den Grenzwert für [mm] $n\to\infty$ [/mm] berechnet und dieser Grenzwert $0$ ist. Dass soll nicht heißen, dass man [mm] $n\to [/mm] 0$ betrachtet.
> Dann noch eine Frage:
> Muss dieses [mm]\delta[/mm] eigentlich eindeutig bestimmt sein? Bei
> einer Aufgabe musste ich letztendlich [mm]\delta[/mm] über
> quadratische Ergänzung bestimmen und habe zwei [mm]\delta[/mm] 's
> bekommen. Ist das überhaupt legitim?
Naja, rein aus der Definition der Stetigkeit wird ja nur für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gefordert, damit gibt es dann aber sicher immer mehrer mögliche Werte für [mm] $\delta$. [/mm] Wenn man für ein gegebenes [mm] $\epsion$ [/mm] die möglichen Werte für [mm] $\delta$ [/mm] bestimmt, kommt man sicherlich immer nur auf eine Ungleichung. Daher habt ihr sicherlich mögliche Intervalle bestimmt, in denen man das [mm] $\delta$ [/mm] wählen durfte und nicht genau zwei Werte.
Gruß Max
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