Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion, die jede konvergente reelle Folge auf eine konvergente reelle Folge abbildet. Zeigen Sie, dass f stetig ist.
b) Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Abbildung und [mm] (a_n) [/mm] eine reelle Folge, für die gilt: [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] f(a_n) [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Man zeige: Konvergiert die Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen ein L [mm] \in \IR, [/mm] so ist f(L) = L. |
Hallo,
zu a): Hier habe ich Schwierigkeiten, überhaupt zu verstehen, was ich zeigen soll, da ich der Meinung bin, dass f irgendwie schwammig definiert ist.
Müsste es nicht korrekt heißen:
f: [mm] \{a_n : (a_n) konvergente Folge, n \in \IN\} \to \{b_n : (b_n) konvergente Folge, n \in \IN\} [/mm] : [mm] a_n \to b_n [/mm] ?
D.h. ich muss zeigen, dass für ein beliebiges [mm] c_n \in \{a_n : (a_n) konvergente Folge, n \in \IN\} [/mm] gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0, s.d. für [mm] a_n \in \{a_n : (a_n) konvergente Folge, n \in \IN\} [/mm] mit [mm] |a_n [/mm] - [mm] c_n| [/mm] < [mm] \delta [/mm] gilt: [mm] |f(a_n) [/mm] - [mm] f(c_n)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ??
Zu b): Bringt es hier was, wenn ich mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit arbeite?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine Funktion, die jede konvergente
> reelle Folge auf eine konvergente reelle Folge abbildet.
> Zeigen Sie, dass f stetig ist.
>
> b) Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Abbildung und [mm](a_n)[/mm] eine
> reelle Folge, für die gilt: [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]f(a_n)[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN[/mm]
>
> Man zeige: Konvergiert die Folge [mm](a_n)[/mm] gegen ein L [mm]\in \IR,[/mm]
> so ist f(L) = L.
> Hallo,
>
> zu a): Hier habe ich Schwierigkeiten, überhaupt zu
> verstehen, was ich zeigen soll, da ich der Meinung bin,
> dass f irgendwie schwammig definiert ist.
nein, [mm] $f\,$ [/mm] ist nicht schwammig definiert, nur halt nicht eindeutig. Du
betrachtest eigentlich alle Funktionen mit der genannten Eigenschaft
und willst zeigen, dass eine jede solche Funktion stetig ist.
> Müsste es nicht korrekt heißen:
>
> f: [mm]\{a_n : (a_n) konvergente Folge, n \in \IN\} \to \{b_n : (b_n) konvergente Folge, n \in \IN\}[/mm]
> : [mm]a_n \to b_n[/mm] ?
? Das verstehe ich nicht. Es steht doch oben $f: [mm] \IR \to \IR\,.$ [/mm] Und was zu
zeigen ist, ist:
Falls für alle [mm] ${(x_n)}_n \in \IR^{\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x\,$ [/mm] auch folgt, dass
die Folge [mm] ${(f(x_n))}_n \in \IR^{\IN}$ [/mm] konvergent ist gegen ein $r [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dann ist [mm] $f\,$ [/mm] schon
stetig. Das ist im Prinzip so eine ähnliche Aussage wie beim
Folgenkriterium (FK), nur bei dem FK muss aus [mm] $x_n \to [/mm] x$ stets schon
[mm] $f(x_n) \to [/mm] f(x)$ folgen. Bzw. wenn Du das Folgenkriterium schon hattest,
dann zeige: Wenn aus [mm] $x_n \to [/mm] x$ stets folgt, dass [mm] ${(f(x_n))}_n$ [/mm] konvergiert,
etwa gegen [mm] $r\,,$ [/mm] dann muss schon [mm] $r=f(x)\,$ [/mm] gelten, und Du bist fertig.
> D.h. ich muss zeigen, dass für ein beliebiges [mm]c_n \in \{a_n : (a_n) konvergente Folge, n \in \IN\}[/mm]
> gilt:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0, s.d. für [mm]a_n \in \{a_n : (a_n) konvergente Folge, n \in \IN\}[/mm]
> mit [mm]|a_n[/mm] - [mm]c_n|[/mm] < [mm]\delta[/mm] gilt: [mm]|f(a_n)[/mm] - [mm]f(c_n)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] ??
>
> Zu b): Bringt es hier was, wenn ich mit dem Folgenkriterium
> für Stetigkeit arbeite?
Ja: Aus [mm] $a_n \to [/mm] L$ folgt ja auch [mm] $a_{n+1} \to [/mm] L$ (bei $n [mm] \to \infty$), [/mm] und
wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] (insbesondere in [mm] $L\,$) [/mm] konvergiert
[mm] ${(f(a_n))}_n$ [/mm] gegen was?
Gruß,
Marcel
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> Und was zu
> zeigen ist, ist:
> Falls für alle [mm]{(x_n)}_n \in \IR^{\IN}[/mm] mit [mm]x_n \to x\,[/mm]
> auch folgt, dass
> die Folge [mm]{(f(x_n))}_n \in \IR^{\IN}[/mm] konvergent ist gegen
> ein [mm]r \in \IR\,,[/mm] dann ist [mm]f\,[/mm] schon
> stetig. Das ist im Prinzip so eine ähnliche Aussage wie
> beim
> Folgenkriterium (FK), nur bei dem FK muss aus [mm]x_n \to x[/mm]
> stets schon
> [mm]f(x_n) \to f(x)[/mm] folgen. Bzw. wenn Du das Folgenkriterium
> schon hattest,
> dann zeige: Wenn aus [mm]x_n \to x[/mm] stets folgt, dass
> [mm]{(f(x_n))}_n[/mm] konvergiert,
> etwa gegen [mm]r\,,[/mm] dann muss schon [mm]r=f(x)\,[/mm] gelten, und Du
> bist fertig.
Mein Beweis sieht jetzt so aus (Folgenkriterium):
Sei [mm] x_n \to x_0
[/mm]
Nach Voraussetzung: [mm] a_n [/mm] := [mm] f(x_n) \to [/mm] L
Z.z. L = [mm] f(x_0)
[/mm]
Aber wie mache ich das?
> > Zu b): Bringt es hier was, wenn ich mit dem Folgenkriterium
> > für Stetigkeit arbeite?
>
> Ja: Aus [mm]a_n \to L[/mm] folgt ja auch [mm]a_{n+1} \to L[/mm] (bei [mm]n \to \infty[/mm]),
> und
> wegen der Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] (insbesondere in [mm]L\,[/mm])
> konvergiert
> [mm]{(f(a_n))}_n[/mm] gegen was?
[mm] f(a_n) [/mm] konvergiert gegen L = f(L).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Und was zu
> > zeigen ist, ist:
> > Falls für alle [mm]{(x_n)}_n \in \IR^{\IN}[/mm] mit [mm]x_n \to x\,[/mm]
> > auch folgt, dass
> > die Folge [mm]{(f(x_n))}_n \in \IR^{\IN}[/mm] konvergent ist
> gegen
> > ein [mm]r \in \IR\,,[/mm] dann ist [mm]f\,[/mm] schon
> > stetig. Das ist im Prinzip so eine ähnliche Aussage wie
> > beim
> > Folgenkriterium (FK), nur bei dem FK muss aus [mm]x_n \to x[/mm]
> > stets schon
> > [mm]f(x_n) \to f(x)[/mm] folgen. Bzw. wenn Du das Folgenkriterium
> > schon hattest,
> > dann zeige: Wenn aus [mm]x_n \to x[/mm] stets folgt, dass
> > [mm]{(f(x_n))}_n[/mm] konvergiert,
> > etwa gegen [mm]r\,,[/mm] dann muss schon [mm]r=f(x)\,[/mm] gelten, und Du
> > bist fertig.
>
> Mein Beweis sieht jetzt so aus (Folgenkriterium):
>
> Sei [mm]x_n \to x_0[/mm]
>
> Nach Voraussetzung: [mm]a_n[/mm] := [mm]f(x_n) \to[/mm] L
>
> Z.z. L = [mm]f(x_0)[/mm]
>
> Aber wie mache ich das?
eigentlich ist das recht simpel: Seien [mm] $x_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0\,.$
[/mm]
Betrachte bspw. nun die Folge [mm] ${(r_n)}_n$ [/mm] mit
[mm] $$r_n:=\begin{cases} x_0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ x_{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}$$
[/mm]
(d.h.
[mm] $${(r_n)}_n=(\overbrace{x_0}^{=r_1},\;\overbrace{x_1}^{=r_2},\;\overbrace{x_0}^{=r_3},\;\overbrace{x_2}^{=r_4},\;\overbrace{x_0}^{=r_5},\;\overbrace{x_3}^{=r_6},\;\overbrace{x_0}^{=r_7},\;\overbrace{x_4}^{=r_8},\;\ldots) \text{ )}$$
[/mm]
und begründe erstmal nun, dass [mm] $r_n \to x_0$ [/mm] gilt. Wenn Du das getan
hast: Nach Voraussetzung ist [mm] ${(f(r_n))}_n$ [/mm] konvergent: Durch das
Betrachten einer geeigneten Teilfolge von [mm] ${(f(r_n))}_n$ [/mm] ist aber klar, dass
[mm] $f(r_n) \to f(x_0)$ [/mm] gelten muss. (Warum?) Wieder mit einem
Teilfolgenargument kannst Du daraus dann [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] begründen!
(Die Eindeutigkeit des Grenzwertes liefert dann [mm] $L=f(x_0)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Sei [mm] x_n \to x_0
[/mm]
[mm] r_n:=\begin{cases} x_0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ x_{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
Beh.: [mm] r_n \to x_0
[/mm]
Betrachte die Teilfolge [mm] (r_{2n}).
[/mm]
[mm] \Rightarrow r_{2n} [/mm] = [mm] x_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow r_{2n} \to x_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] |r_{2n} [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
Betrachte Teilfolge [mm] (r_{2n-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow r_{2n-1} [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow r_{2n-1} \to x_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] |r_{2n-1} [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_1
[/mm]
N := [mm] max{n_0, n_1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] |r_n [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] \Rightarrow r_n \to x_0
[/mm]
Beh.: [mm] f(r_n) \to f(x_0)
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] f(r_n) \to [/mm] L
Insbesondere konvergieren alle Teilfolgen von [mm] (f(r_n)) [/mm] gegen L.
Es gilt aber: [mm] f(r_{2n-1}) [/mm] = [mm] f(x_0) \to [/mm] L (Beachte: es handelt sich um eine konstante Folge)
Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes, folgt [mm] f(x_0) [/mm] = L.
[mm] \Rightarrow f(r_n) \to f(x_0)
[/mm]
Wegen [mm] r_{2n} [/mm] = [mm] x_n, [/mm] folgt
[mm] f(r_{2n}) [/mm] = [mm] f(x_n) \to f(x_0).
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]x_n \to x_0[/mm]
>
> [mm]r_n:=\begin{cases} x_0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ x_{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Beh.: [mm]r_n \to x_0[/mm]
spare mal nicht an Worten - die helfen einem zu verstehen, was und warum
da etwas steht. Also Du fängst nun zunächst an und zeigst, dass [mm] $r_n \to x_0$
[/mm]
gilt. Dann schreibe das auch:
"Wir zeigen zunächst [mm] $r_n \to x_0:$..."
[/mm]
oder Du schreibst einfach wenigstens ein "Denn:", denn dann weiß man,
dass Du nun diese erste Behauptung oben zeigst.
> Betrachte die Teilfolge [mm](r_{2n}).[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow r_{2n}[/mm] = [mm]x_n[/mm]
und wegen [mm] $x_n \to x_0$: [/mm]
> [mm]\Rightarrow r_{2n} \to x_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon > 0[/mm]
existiert ein [mm] $n_0=n_0(\varepsilon)$ [/mm] so, dass gilt:
> [mm]|r_{2n}[/mm] - [mm]x_0|[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm]
>
> Betrachte Teilfolge [mm](r_{2n-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow r_{2n-1}[/mm] = [mm]x_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow r_{2n-1} \to x_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon > 0[/mm]
existiert ein [mm] $n_1=n_1(\varepsilon)$ [/mm] so, dass gilt:
> [mm]|r_{2n-1}[/mm] - [mm]x_0|[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge n_1[/mm]
>
> N := [mm]max{n_0, n_1}[/mm]
Mengenklammern machst Du mit einem vorangegangenen Backslash
sichtbar: [mm] $N=\max\{n_0,\;n_1\}\,.$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon[/mm] > 0: [mm]|r_n[/mm] - [mm]x_0|[/mm] <
> [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
> [mm]\Rightarrow r_n \to x_0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beh.: [mm]f(r_n) \to f(x_0)[/mm]
>
> Nach Voraussetzung ist [mm]f(r_n) \to[/mm] L
> Insbesondere konvergieren alle Teilfolgen von [mm](f(r_n))[/mm]
> gegen L.
> Es gilt aber: [mm]f(r_{2n-1})[/mm] = [mm]f(x_0) \to[/mm] L (Beachte: es
> handelt sich um eine konstante Folge)
> Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes, folgt [mm]f(x_0)[/mm] =
> L.
> [mm]\Rightarrow f(r_n) \to f(x_0)[/mm]
>
> Wegen [mm]r_{2n}[/mm] = [mm]x_n,[/mm] folgt
> [mm]f(r_{2n})[/mm] = [mm]f(x_n) \to f(x_0).[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig.
(Soweit ich das nun überblickt habe - aber ich sehe jedenfalls genau
die Gedankengänge, die ich meinte. (Um [mm] $r_n \to x_0$ [/mm] zu zeigen, hätte
ich das nun nicht mit [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] sonderen eher mit analogen
Argumenten wie bei dem Rest Deines Beweises gemacht, aber das, was
Du dort getan hast, ist absolute korrekt!) Sehr gut!  )
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Sei [mm]x_n \to x_0[/mm]
> >
> > [mm]r_n:=\begin{cases} x_0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ x_{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Beh.: [mm]r_n \to x_0[/mm]
>
> spare mal nicht an Worten - die helfen einem zu verstehen,
> was und warum
> da etwas steht. Also Du fängst nun zunächst an und
> zeigst, dass [mm]r_n \to x_0[/mm]
> gilt. Dann schreibe das auch:
> "Wir zeigen zunächst [mm]r_n \to x_0:[/mm]..."
> oder Du schreibst
> einfach wenigstens ein "Denn:", denn dann weiß man,
> dass Du nun diese erste Behauptung oben zeigst.
Ok, mache ich demnächst.
> (Soweit ich das nun überblickt habe - aber ich sehe
> jedenfalls genau
> die Gedankengänge, die ich meinte. (Um [mm]r_n \to x_0[/mm] zu
> zeigen, hätte
> ich das nun nicht mit [mm]\varepsilon > 0\,,[/mm] sonderen eher mit
> analogen
> Argumenten wie bei dem Rest Deines Beweises gemacht, aber
> das, was
> Du dort getan hast, ist absolute korrekt!) Sehr gut!
> )
>
> Gruß,
> Marcel
Ok, besten Dank!
Grüsse
Alexander
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