Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 So 19.06.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo,
ich versuch zu zeigen
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases}0,& \mbox{für }|x | \ge1/n\\1-nx,&\mbox{für}0 \le{x} \le1/n\\1+nx,&\mbox{für}-1/n \le{x} \le0\end{cases}
[/mm]
dafür soll jedes [mm] f_{n} [/mm] stetig sein.
Ich hab mir schon Graphen für mehrere n gezeichnet und im Endeffekt festgestellt mit Hilfe der Funktion das [mm] f_{n}(0)=1 [/mm] für jedes n und das das auch der größte Wert ist den die Funktion erreicht ansonsten hat die Funktion spätestens bei x=1 konstant den Wert 0.(Wie könnte man das formell ausdrücken??)
Nur weiß ich jetzt nicht wie ich an den Beweis der Stetigkeit rangehen soll. Ich denke mal man muss den [mm] \varepsilon- \delta [/mm] Beweis nehmen, aber wie finde ich die zu wählenden [mm] \varepsilon, \delta? [/mm] Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Danke schon mal, Dr.Ufo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 19.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dr. Ufo!
Dies ist ja eine abschnittweise definierte Funktion. Innerhalb der drei Abschnitte ist die Funktion ja offenbar stetig (ich denke das braucht ihr nicht zu zeigen; es sei denn ihr befindet euch ganz am Anfang beim Thema "Stetigkeit"). Man sagt die Funktion ist (mindestens) abschnittsweise stetig.
So, wie du die Funktion angegeben hast, ist sie an den zwei Stellen, wo jeweils zwei der drei Teilintervalle des Definitionsbereiches "aufeinanderprallen", zweimal definiert. Wenn du nun zeigst, dass diese beiden Definitionen übereinstimmen (d.h. dass die Funktion wohldefiniert ist), dann bist du fertig. Denn dann hast du gezeigt, dass in jedem Punkt des Definitionsbereichs der links- und rechtseitige Grenzwert existiert und dass diese beiden Grenzwerte übereinstimmen.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 19.06.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo,
also muss ich den linksseitigen Grenzwert von [mm] f_{n}(x)= [/mm] 1-nx für [mm] 0\le{x}\le1/n [/mm] zeigen und den Rechtsseitigen für [mm] f_{n}(x)=1+nx [/mm] für [mm] -1/n\le{x}\le0
[/mm]
Oder???
Das wäre:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}f_{n}(x)= \limes_{n\rightarrow\0}1-nx=1
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}f_{n}(x)= \limes_{n\rightarrow\0}1+nx=1
[/mm]
n geht gegen 0, dass konnt ichmit den Formeln net!
Stimmt?
Das andere kann ich doch generell damit begründen, dass das Zusammensetzungen von stetigen Funktionen sind oder?
Könnt ihr mir noch verraten wie ich formal zeigen soll, dass für alle n,x gilt 0 [mm] \le{f_{n}(x)} \le1. [/mm] Die Begründung hatte ich ja am Anfang schon geschrieben aber ich kann das ainfach nicht ausdrücken! Wie geht das???
Danke schon mal für das erste,
Dr.Ufo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> also muss ich den linksseitigen Grenzwert von [mm]f_{n}(x)=[/mm]
> 1-nx für [mm]0\le{x}\le1/n[/mm] zeigen und den Rechtsseitigen für
> [mm]f_{n}(x)=1+nx[/mm] für [mm]-1/n\le{x}\le0[/mm]
> Oder???
Nein, ich hatte dir ja bereits gesagt, wie du es machen sollst. Du musst schauen, dass die Abbildung wohldefiniert ist, d.h. das die Funktionswerte an den Stellen, wo die Funktion zweimal definiert ist, übereinstimmen. Dann ist die Funktion automatisch stetig, weil sie ja abschnittsweise stetig ist und somit dann an jeder Stelle der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen.
> Könnt ihr mir noch verraten wie ich formal zeigen soll,
> dass für alle n,x gilt 0 [mm]\le{f_{n}(x)} \le1.[/mm] Die Begründung
> hatte ich ja am Anfang schon geschrieben aber ich kann das
> ainfach nicht ausdrücken! Wie geht das???
Schreibe einfach: Die Funktion [mm] $f_n$ [/mm] ist im Bereich [mm] $\left]-\infty,0 \right]$ [/mm] monoton steigend und im Bereich [mm] $\left[0,+\infty\right[$ [/mm] monoton fallend (das könntest du auch noch zeigen, ist aber eigentlich offensichtlich). Daher nimmt die Funktion [mm] $f_n$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] ihr Maximum an. Wegen [mm] $f_n(0)=1$ [/mm] und [mm] $f_n(x)=0$ [/mm] für $|x| [mm] \ge [/mm] 1$ folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Stefan
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