Stetigkeit von oben < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Damasus |
| Aufgabe | | Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass die Aussage in Teil (c) im Allgeimeinen nicht gilt, wenn man auf die Voraussetzungen [mm]\mu_{n}(A_{1})<\infty[/mm] verzichtet. |
Hallo erstmal,
ich wiederhole erstmal die Defintion der Stetigkeit von oben:
Gilt [mm]\mu_{n}(A_{1})<\infty[/mm] und [mm]A_{k}\supseteq A_{k+1}[/mm] für alle [mm]k\in \IN[/mm], so ist [mm]\mu_{n}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})=\limes_{k\rightarrow\infty}\mu_{n}(A_{k}).[/mm]
Also geht anscheinend was kaputt, wenn man [mm]A_{1}=\infty[/mm] wählt. Wir sitzen hier zu 5. und haben 1000 Fälle ausprobiert, z.B.
(1) Alle [mm]A_{k}=\infty[/mm]
(2) [mm]A_{1}=\infty[/mm] und alle anderen Einpunktmenge oder leere Menge
u.s.w.
Aber bei allen geht eig. nichts kaputt, oder?
Hat vielleicht jemand eine Idee?
Mit freundlichen Grüßen
Damasus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Damasus |
ahh ist ja cool. Danke schonmal. Aber besonders schlau werde ich dadurch nicht^^
Kannst du mir, dass vielleicht etwas ausführlicher beschreiben? Wäre super nett...
Also alle [mm] $\mu_{n}(A)=\infty$ [/mm] und der Schnitt ist die Leere Menge??
Mfg,
Damasus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ahh ist ja cool. Danke schonmal. Aber besonders schlau
> werde ich dadurch nicht^^
>
> Kannst du mir, dass vielleicht etwas ausführlicher
> beschreiben? Wäre super nett...
>
> Also alle [mm]\mu_{n}(A)=\infty[/mm] und der Schnitt ist die Leere
> Menge??
[mm] \mu [/mm] ist hier das Zählmaß auf der Potenzmenge von [mm] \IN
[/mm]
es ist [mm] $A_n [/mm] = [mm] \{n,n+1, ..\}$
[/mm]
Damit ist [mm] \mu(A_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] für jedes n , aber [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
FRED
>
> Mfg,
> Damasus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Damasus |
Die Schnittmenge ist doch immer leer oder?
Also ich fasse noch einmal zusammen:
Alle [mm] $\mu(A_{n})=\infty$. [/mm] So [mm] \mu [/mm] soll nun unser Zählmaß sein, soll uns also sagen wieviele Elemente in der Menge sind. Wenn ich jetzt [mm] $A_{n}={n,n+1,...} [/mm] wähle, dann ist das Zählmaß natürlich und unendlich, aber die Schnittmenge ist doch immer leer.
Oder verstehe ich schon wieder was nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Schnittmenge ist doch immer leer oder?
Was meinst Du mit "immer" ?
> Also ich fasse noch einmal zusammen:
> Alle [mm]$\mu(A_{n})=\infty$.[/mm] So [mm]\mu[/mm] soll nun unser Zählmaß
> sein, soll uns also sagen wieviele Elemente in der Menge
> sind. Wenn ich jetzt [mm]$A_{n}={n,n+1,...}[/mm] wähle, dann ist
> das Zählmaß natürlich und unendlich, aber die
> Schnittmenge ist doch immer leer.
Ja, der Schnitt der obeigen [mm] A_n [/mm] ist leer
Wo ist Dein Problem ?
FRED
>
> Oder verstehe ich schon wieder was nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Damasus |
ja was denn wenn [mm] $\mu(A_{1})<\infty$, [/mm] dann ist doch der Schitt des Zählmaßes immer noch leer oder??
Was passiert den nun? [mm] \mu(A) [/mm] = ? und Schnitt = ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja was denn wenn [mm]\mu(A_{1})<\infty[/mm], dann ist doch der
> Schitt des Zählmaßes immer noch leer oder??
???????????????????
> Was passiert den nun? [mm]\mu(A)[/mm] = ? und Schnitt = ?
Es sollte gezeigt werden, dass
$ [mm] \mu_{}(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})=\limes_{k\rightarrow\infty}\mu_{}(A_{k}). [/mm] $
im allgemeinen nicht mehr richtig ist, wenn [mm] \mu(A_1) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
In obigem Beispiel ist [mm] \mu(A_n) [/mm] = [mm] \infty [/mm] für jedes n, also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu_{}(A_{n})= \infty.
[/mm]
Weiter ist in diesem Beispiel [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n} [/mm] = [mm] \emptyset, [/mm] also [mm] \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n})=0
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Damasus |
Ich verstehe schon, was ihr mir versucht zu erklären, aber ich habe halt im Kopf:
Wenn [mm] $\mu_{n}(A_{n}=\infty$ [/mm] dann könnten die [mm] A_{i} [/mm] ja alle [mm] \IR^{n} [/mm] sein, dann wäre aber der Schnitt ja nicht leer^^
Versteht ihr wie ich mir das vorstelle? Davon muss ich halt wegkommen.
Bei euch sind die [mm] $A_{i}$ [/mm] paarweise disjunkt ne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe schon, was ihr mir versucht zu erklären, aber
> ich habe halt im Kopf:
>
> Wenn [mm]\mu_{n}(A_{n}=\infty[/mm] dann könnten die [mm]A_{i}[/mm] ja alle
> [mm]\IR^{n}[/mm] sein, dann wäre aber der Schnitt ja nicht leer^^
In obigem Beispiel ist das aber nicht so !
> Versteht ihr wie ich mir das vorstelle? Davon muss ich
> halt wegkommen.
> Bei euch sind die [mm]A_{i}[/mm] paarweise disjunkt ne?
Nee ! Es ist [mm] A_m \subseteq A_n [/mm] für m>n, also [mm] A_m \cap A_n [/mm] = [mm] A_m
[/mm]
FRED
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