Stetigkeit von norm Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:21 Fr 18.01.2013 | | Autor: | grasimu |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \parallel*\parallel [/mm] eine Norm auf [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Für x = [mm] (x_{i})_{1\le i \le 2n} \in \IR^{2n} [/mm] bezeichne [mm] a_{x} [/mm] := [mm] (x__{i})_{1 \le i \le n} [/mm] die ,,vordere Hälfte" und [mm] b_{x} [/mm] := [mm] (x__{i})_{n+1 \le i \le 2n} [/mm] die ,,hintere Hälfte" von x. Weiter seien A,B [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] kompakte Mengen. Zeigen Sie:
a) Die Funktion d: [mm] \IR^{2n} \to \IR [/mm] mit d(x) = [mm] \parallel a_{x} [/mm] - [mm] b_{x}\parallel [/mm] ist stetig.
Hinweis: Vielleicht hilft Ihnen, dass alle Normen auf [mm] \IR^{n} [/mm] äquivalent sind.
b)Die Menge M :={x [mm] \in \IR^{2n} [/mm] | [mm] a_{x} \in [/mm] A [mm] \wedge b_{x} \in [/mm] B} ist beschränkt.
Zur Information: Wenn man noch zeigt, dass M abgeschlossen ist, ist M kompakt. Mit Satz 4.2.6 und der Funktion aus (a) folgt Satz 4.2.7 recht direkt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Unsere Stetikkeits Defintion besagt:
a) FÜr x [mm] \in [/mm] D heißt f stetig in x, falls für jede Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] aus [mm] D\{x} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F(x_n) [/mm] = x gilt:
(1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] existiert;
(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f(x);
b) Die Funktion f heißt stetig, falls f stetig in jedem x [mm] \in [/mm] D ist.
a)
Leider kann mir nicht vorstellen wie sich diese Funktion verhält. Wenn ich immer die vordere Hälfte - der hinteren Hälfte rechne müsste doch immer das selbe rauskommen, das heißt dann dass die funktion konstant ist und somit auch stetig?
b)Fehlt mir derzeit jeder ansatz, folgt sowas nicht direkt aus den kompakten Mengen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 22.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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