Stetigkeit von Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=e^{-3x} [/mm] |
Hallo,
bitte um korrektur folgender aufgabe:
Fragestellung: Ist die Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig?
[mm] f(x)=e^{-3x} [/mm] (e steht für die eulersche zahl)
als erstes lasse ich die funktion bzw. x gegen 1 laufen:
[mm] \limes_{ x \rightarrow 1}f(x)=e^{-3x}=e^{-3}
[/mm]
danach nehme ich einmal den limes für f(a+h) und den limes für f(a-h). h lasse ich gegen 0 laufen. dies sieht dann so aus:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] f(a+b)= [mm] e^{-3(a+h)}=\limes_{h\rightarrow 0} e^{-3a-3h}=e^{-3a}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} f(a-h)=e^{-3(a-h)}=e^{-3a+3h}=e^{-3a}
[/mm]
da die ergebnisse für f(a+h) und f(a-h) gleich sind ist die funktion für ihren gesamten definitionsbereich stetig.
richtig?????????
danke schonmal
grüße
ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 So 18.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> [mm]f(x)=e^{-3x}[/mm]
> Hallo,
>
> bitte um korrektur folgender aufgabe:
>
> Fragestellung: Ist die Funktion in ihrem gesamten
> Definitionsbereich stetig?
>
> [mm]f(x)=e^{-3x}[/mm] (e steht für die eulersche zahl)
>
> als erstes lasse ich die funktion bzw. x gegen 1 laufen:
Wieso?
>
> [mm]\limes_{ x \rightarrow 1}f(x)=e^{-3x}=e^{-3}[/mm]
>
> danach nehme ich einmal den limes für f(a+h) und den limes
> für f(a-h). h lasse ich gegen 0 laufen. dies sieht dann so
> aus:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(a+b)=
> [mm]e^{-3(a+h)}=\limes_{h\rightarrow 0} e^{-3a-3h}=e^{-3a}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} f(a-h)=e^{-3(a-h)}=e^{-3a+3h}=e^{-3a}[/mm]
>
> da die ergebnisse für f(a+h) und f(a-h) gleich sind ist
> die funktion für ihren gesamten definitionsbereich
> stetig.
>
> richtig?????????
>
> danke schonmal
>
> grüße
> ali
Also eigentlich reicht die Aussage, dass [mm] e^{-3x} [/mm] als Komposition stetiger Funktionen wieder stetig ist.
Du hast hier ja keine Definitionslücken, daher macht die Betrachtung von x=1 eigentlich keinen Sinn...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
und wenn ich den ersten schritt (betrachtung x=1) weglasse? und alles andere so hinschreibe? ist es dann richtig???
lg
ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 18.11.2012 | | Autor: | teo |
Ja kann man so machen..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
super gut. vielen dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ali,
> danach nehme ich einmal den limes für f(a+h) und den limes
> für f(a-h). h lasse ich gegen 0 laufen. dies sieht dann so
> aus:
Es genügt, den Limes $f(a+h)$ für h gegen 0 zu betrachten, wenn h auch negativ sein darf.
Viel einfacher ist es ohnehin, direkt den Limes von [mm] $\lim_{x\to a}f(x)$ [/mm] auf Existenz und Übereinstimmung mit $f(a)$ zu untersuchen.
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] f(a+b)=
> [mm]e^{-3(a+h)}=\limes_{h\rightarrow 0} e^{-3a-3h}=e^{-3a}[/mm]
Die letzte Gleichung halte ich für nicht hinreichend begründet. Du benötigst dafür, dass $-3a-3h$ für h gegen 0 gegen $-3a$ läuft und dass die e-Funktion stetig ist.
Genauer ausgeführt: Sei [mm] $(h_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge, die gegen 0 konvergiert. Zu zeigen ist, dass dann [mm] $(e^{-3a-3h_n})_{n\in\IN}$ [/mm] gegen [mm] $e^{-3a}$ [/mm] konvergiert.
Nach den Grenzwertsätzen für konvergente Folgen ist [mm] $(-3a-3h_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent gegen $-3a$.
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion an der Stelle $-3a$ ist somit [mm] $(e^{-3a-3h_n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent gegen [mm] $e^{-3a}$.
[/mm]
Was zu zeigen war.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 So 18.11.2012 | | Autor: | piriyaie |
alles klar. vielen lieben dank.
grüße
ali
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