Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
| Aufgabe | Zeichnen Sie die Funktionsgraphen und untersuchen Sie die beiden Funktionen auf Stetigkeit!
a) f: [mm] \IR\to\IR [/mm] mit f(x)=-1 für [mm] x<\wurzel{2} [/mm] und f(x)=1 für [mm] x\ge\wurzel{2}
[/mm]
b) f: [mm] \IQ\to\IR [/mm] mit g(x)=-1 für [mm] x<\wurzel{2} [/mm] und g(x)=1 für [mm] x\ge\wurzel{2} [/mm] |
Hallo ;),
Ich hab die a) schon gezeichnet, weiß aber absolut nicht wie ich vorgehen muss.
Kann mir jemand helfen?
LG Jenny
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Hallo Jenny,
die Zeichnung ist ja nicht sooo schwierig...
Zu untersuchen ist die erste Funktion nur auf Stetigkeit bei [mm] x_0=\wurzel{2}. [/mm] Das Ergebnis wird sein: sie ist unstetig, aber wie zeigst Du das korrekt?
Die zweite Funktion unterscheidet sich ja nur in einem Detail, nämlich ihrer Definitionsmenge [mm] \IQ. [/mm] Was heißt das für die Überprüfung auf Stetigkeit an der gleichen Stelle wie vorher? Macht sie Sinn? Ist sie erlaubt? Nötig? Und was ist das Ergebnis?
Die Zeichnung selbst sieht da ja genauso aus.
Verwende doch mal Eure Definition für Stetigkeit und untersuche erst die erste Funktion und denk dann ein wenig über die zweite nach.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Die zweite Funktion müsste auch für [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] untersucht werden, da die Definitionsmenge aber [mm] \IQ [/mm] ist, liegt [mm] \wurzel{2} [/mm] gar nicht darin.
Sie ist also unstetig.
Ok zu a):
Defintion von Stetigkeit:
Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] |x-a|<\delta [/mm] gilt [mm] |f(x)-f(a)|<\varepsilon
[/mm]
mit [mm] |\wurzel{2}-a|<\delta [/mm] gilt [mm] |1-f(a)|<\varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mo 21.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die zweite Funktion müsste auch für [mm]x_{0}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> untersucht werden, da die Definitionsmenge aber [mm]\IQ[/mm] ist,
> liegt [mm]\wurzel{2}[/mm] gar nicht darin.
> Sie ist also unstetig.
Das stimmt so nicht. Stetig kann eine Funktion nur dort sein, wo sie definiert ist. Die Definition der Stetigkeit spricht immer nur von den Punkten im Definitionsbereich der Funktion. Wie du selbst schreibst, gehört [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht zum Definitionsbereich.
>
> Ok zu a):
>
> Defintion von Stetigkeit:
> Zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein [mm]\delta>0,[/mm] so dass für
> alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-a|<\delta[/mm] gilt [mm]|f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm]
Richtig. Anschaulich bedeutet das, dass der Funktionswert sich nur wenig ändert (höchstens um [mm] $\varespilon$), [/mm] wenn man $x$ nur wenig ändert (um nicht mehr als [mm] $\delta$). [/mm] Das bedeutet insbesondere, dass die Funktion keine Sprungstelle hat (oder auch dass du sie zeichnen kannst, ohne den Stift anzuheben oder abzusetzen)
Hier gibt's auch zwei Zeichnungen dazu.
>
> mit [mm]|\wurzel{2}-a|<\delta[/mm] gilt [mm]|1-f(a)|<\varepsilon[/mm]
Fast, hier hast du $x$ aund $a$ vertauscht, denn du untersuchst doch die Stetigkeit an der Stelle [mm] $a=\sqrt{2}$.
[/mm]
Also: zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] muss es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] geben, sodass aus
[mm]|x-\wurzel{2}|<\delta[/mm]
folgt, dass
[mm]|f(x) - 1|<\varepsilon[/mm]
So, und jetzt gehe den Punkt [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] von rechts und von links an, unterscheide also die Fälle [mm] $x>\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $x<\sqrt{2}$. [/mm] Was ist jeweils $|f(x) - 1|$ ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Danke für deine Antwort!
> > Die zweite Funktion müsste auch für [mm]x_{0}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > untersucht werden, da die Definitionsmenge aber [mm]\IQ[/mm] ist,
> > liegt [mm]\wurzel{2}[/mm] gar nicht darin.
> > Sie ist also unstetig.
>
> Das stimmt so nicht. Stetig kann eine Funktion nur dort
> sein, wo sie definiert ist. Die Definition der Stetigkeit
> spricht immer nur von den Punkten im Definitionsbereich der
> Funktion. Wie du selbst schreibst, gehört [mm]\sqrt{2}[/mm] nicht
> zum Definitionsbereich.
>
Und was bedeutet das dann?
> > Ok zu a):
Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] so dass aus [mm] |x-\wurzel{2}|<\delta [/mm] folgt |f(x) - [mm] 1|<\varepsilon
[/mm]
Fall 1.)
[mm] x>\sqrt{2} [/mm]
Aus [mm] |x-\wurzel{2}|<\delta [/mm] folgt |1 - [mm] 1|<\varepsilon
[/mm]
[mm] 0<\varepsilon
[/mm]
Vorausgesetzt war [mm] \varepsilon>0, [/mm] also ist die Funktion für [mm] x\ge\wurzel{2} [/mm] stetig.
Fall 2.)
[mm] x<\wurzel{2}
[/mm]
Aus [mm] |x-\wurzel{2}|<\delta [/mm] folgt |-1 - [mm] 1|<\varepsilon
[/mm]
[mm] 2<\varepsilon
[/mm]
Heißt das dann, dass die Funktion für [mm] x<\wurzel{2} [/mm] unstetig ist?
LG Jenny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Di 22.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jenny!
> > > Die zweite Funktion müsste auch für [mm]x_{0}[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > > untersucht werden, da die Definitionsmenge aber [mm]\IQ[/mm] ist,
> > > liegt [mm]\wurzel{2}[/mm] gar nicht darin.
> > > Sie ist also unstetig.
> >
> > Das stimmt so nicht. Stetig kann eine Funktion nur dort
> > sein, wo sie definiert ist. Die Definition der Stetigkeit
> > spricht immer nur von den Punkten im Definitionsbereich der
> > Funktion. Wie du selbst schreibst, gehört [mm]\sqrt{2}[/mm] nicht
> > zum Definitionsbereich.
> >
>
> Und was bedeutet das dann?
Das die Frage nach der Stetigkeit an der Stelle [mm]\sqrt{2}[/mm] sinnlos ist.
Es geht bei der Stetigkeit an einem Punkt $a$ doch darum, wie sich die Funktion für Werte von $x$ in einer kleinen Umgebung um den Punkt $a$ verhält, nämlich für [mm] $|x-a|<\delta \gdw a-\delta [/mm] < x < [mm] a+\delta$.
[/mm]
Da hier der Definitionsbereich nur rationale Zahlen enthält, musst du hier auch [mm] $x,a\in\IQ$ [/mm] nehmen. Und da die Funktion sowohl rechts von [mm]\sqrt{2}[/mm] wie auch links von [mm]\sqrt{2}[/mm] konstant ist, folgt was?
>
>
> > > Ok zu a):
>
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]\delta>0[/mm] so dass aus
> [mm]|x-\wurzel{2}|<\delta[/mm] folgt |f(x) - [mm]1|<\varepsilon[/mm]
>
> Fall 1.)
> [mm]x>\sqrt{2}[/mm]
>
> Aus [mm]|x-\wurzel{2}|<\delta[/mm] folgt [mm]|1 - 1|<\varepsilon[/mm]
> [mm]0<\varepsilon[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vorausgesetzt war [mm]\varepsilon>0,[/mm] also ist die Funktion
> für [mm]x\ge\wurzel{2}[/mm] stetig.
Vorsicht! Du verwechselst wieder $a$ und $x$ ! Du untersuchst die Stetigkeit an der Stelle [mm] $a=\sqrt{2}$. [/mm] Die möglichen Werte von $x$ dienen nur dazu herauszufinden, wie sich die Funktion in der Nähe von [mm] $a=\sqrt{2}$ [/mm] verhält.
Du nimmst dir immer einen Wert $a$ und wackelst ein bischen am Wert von $x$. Wenn du wenig wackelst, darf auch $f(x)$ nur wenig um $f(a)$ wackeln. Macht aber $f(x)$ dabei zum Beispiel einen großen Sprung, dann ist die Funktion $f$ an der Stelle $a$ nicht stetig.
Du hast gerade festgestellt, dass für Werte von $x$, die rechts von [mm] $a=\sqrt{2}$ [/mm] liegen, die Bedingung [mm] $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ [/mm] immer richtig ist, egal welchen Wert [mm] $\varepsilon$ [/mm] hat. Also: ein wenig Wackeln nach rechts ändert an $f(x)$ gar nichts.
>
> Fall 2.)
> [mm]x<\wurzel{2}[/mm]
>
> Aus [mm]|x-\wurzel{2}|<\delta[/mm] folgt [mm]|-1 - 1|<\varepsilon[/mm]
> [mm]2<\varepsilon[/mm].
> Heißt das dann, dass die Funktion für [mm]x<\wurzel{2}[/mm]
> unstetig ist?
Nein, auch das ist die falsche Formulierung. [mm]2<\varepsilon[/mm] bedeutet zunächst, dass du dein [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht frei wählen kannst. Ein wenig Wackeln nach links führt also dazu, dass die Funktion von $+1$ auf $-1$ springt. Du hast damit herausgefunden, dass du für gewisse Werte von $x$ die Stetigkeitsbedingung nicht erfüllen kannst. Daher ist die Funktion an der Stelle [mm] $a=\sqrt{2}$ [/mm] nicht stetig.
Viele Grüße
Rainer
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