Stetigkeit von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f:\IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x^2}) & \mbox{für } x \not= 0 \\ a & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
für keine Wahl von [mm] a\in \IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist. |
Im dazugehörigen Lösungsblatt lautet die Antwort:
"Wir betrachten die Folge [mm] x_n:=\wurzel{\bruch{2}{(2n+1)\pi}} [/mm] . Es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=0 [/mm] und
[mm] f(x_n)=sin(\bruch{(2n+1)\pi}{2})=(-1)^n [/mm] .
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] existiert nicht. Die Funktion kann nicht stetig ergänzt werden."
Meine Frage dazu: Wie komme ich von
[mm] sin(\bruch{1}{x^2}) [/mm]
auf oben angegebene Folge
[mm] x_n:=\wurzel{\bruch{2}{(2n+1)\pi}} [/mm] ?
Kann jemand mit einem einigermaßen anschaulichen Rechenweg dienen?
Vielen Dank
Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, der Sinus nimmt halbzahlige Vielfache von pi immer abwechselnd die Werte +1 und -1 an.
Also
1/2 pi -> +1
3/2 pi -> -1
5/2 pi -> +1
...
Halbzahlige Werte, das bedeutet so viel wie [mm] \bruch{2n+1}{2}.
[/mm]
Tja, und statt [mm] \bruch{2n+1}{2}\pi [/mm] steht da nun [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] in der Aufgabe. Das ist alles.
Die Beweisidee ist ja einfach, daß es einen grenzwert geben muß, aber diese Funktion hat keinen Grenzwert, weil sie, egal wie weit du gehst, immer Werte zwischen -1 und +1 annimmt.
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