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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit von Funktion
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Stetigkeit von Funktion: Funktion stetig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Fr 14.12.2007
Autor: Bruns

Aufgabe
Man bestimme den maximalen Definitionsbereich D  R f¨ur folgende Abbildungsvorschriften?
Ist f : D -> R stetig? Man bestimme die Funktionsgrenzwerte an den Rändern von D und für
x -> ± [mm] \infty [/mm] , sofern sie existieren. Läßt sich f stetig fortsetzen?

a) f(x) = [|x|(6x3 − 4x2 − 2)]/[2x4 + 7x − 9|x|]

b) f(x) [mm] =[3\wurzel{1+x} [/mm] − 1]/x          |3te Wurzel aus (1+x)

Hallo zusammen,

habe ein Problem war in dieser Vorlesung über die Stetigkeit von Funktionen krank und nun haben wir diese Aufgaben.

Bei a) habe ich mir ein paar Überlegungen gemacht:

[mm] D=R\{-2,0,1} [/mm]  für die Stetigkeit untersuche ich nun dieses Def.Lücken auf Stetigkeit.

Also x=0 rechter Grenzwert gleich 1 und linker gleich 1/8; nur was bedeutet das jetzt?

x=1 habe ich beides mal 5/3 raus, also ist f in diesem Punkt stetig.

bei x=-2 ist f nicht definiert, sie geht gegen [mm] +\infty=> [/mm] Asymptote oder?

Verhalten gegen [mm] \pm \infty: [/mm]

für [mm] +\infty [/mm] gegen 3 und für [mm] -\infty [/mm] gegen -3

nur was sage ich nun über die Stetigkeit von f aus?



und bei b) komme ich garnicht weiter, ein Ansatz wäre nicht schlecht.


Vielen Dank im Voraus.

Gruß Christoph


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit von Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Di 18.12.2007
Autor: Somebody


> Man bestimme den maximalen Definitionsbereich D  R f¨ur
> folgende Abbildungsvorschriften?
>  Ist f : D -> R stetig? Man bestimme die

> Funktionsgrenzwerte an den Rändern von D und für
>  x -> ± [mm]\infty[/mm] , sofern sie existieren. Läßt sich f stetig

> fortsetzen?
>  
> a) f(x) = [|x|(6x3 − 4x2 − 2)]/[2x4 + 7x
> − 9|x|]
>  
> b) f(x) [mm]=[3\wurzel{1+x}[/mm] − 1]/x          |3te Wurzel
> aus (1+x)
>  Hallo zusammen,
>  
> habe ein Problem war in dieser Vorlesung über die
> Stetigkeit von Funktionen krank und nun haben wir diese
> Aufgaben.
>  
> Bei a) habe ich mir ein paar Überlegungen gemacht:
>  
> [mm]D=R\{-2,0,1}[/mm]  für die Stetigkeit untersuche ich nun dieses
> Def.Lücken auf Stetigkeit.
>  
> Also x=0 rechter Grenzwert gleich 1 und linker gleich 1/8;
> nur was bedeutet das jetzt?

Eine Funktion $f$ ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] genau dann stetig, wenn [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)$. [/mm]

Sind also linker und rechter Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht gleich, kann $f$ an dieser Stelle nicht stetig sein (bzw. falls $f$ an dieser Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht definiert ist: kann $f$ auch an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht stetig fortgesetzt werden).

>  
> x=1 habe ich beides mal 5/3 raus, also ist f in diesem
> Punkt stetig.
>  
> bei x=-2 ist f nicht definiert, sie geht gegen [mm]+\infty=>[/mm]
> Asymptote oder?
>  
> Verhalten gegen [mm]\pm \infty:[/mm]
>  
> für [mm]+\infty[/mm] gegen 3 und für [mm]-\infty[/mm] gegen -3
>  
> nur was sage ich nun über die Stetigkeit von f aus?

Siehe oben.

> und bei b) komme ich garnicht weiter, ein Ansatz wäre nicht
> schlecht.

Je nachdem, wie dogmatisch man bezüglich des Definitionssbereichs von [mm] $\sqrt[3]{\ldots}$ [/mm] sein will, ist die einzige Definitionslücke $x=0$. Da sowohl links- als auch rechtsseitiger Grenzwert [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] ist, kann diese Funktion mit der Definition [mm] $f(0):=\frac{1}{3}$ [/mm] stetig forgesetzt werden.

Bem: diesen Grenzwert an der Stelle $x=0$ kannst Du auf verschiedenen Wegen bestimmen:
1. Taylorentwicklung [mm] $\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{x}{3}+o(x^2)$ [/mm] (für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$)

oder

2. "Spitalregel"

oder

3. indem Du verwendest, dass ja gilt [mm] $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, [/mm] d.h. [mm] $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$, [/mm] wobei Du hier [mm] $a:=\sqrt[3]{1+x}$ [/mm] und $b:=1$ setzen wirst.

Bezug
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