Stetigkeit von Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
| Aufgabe | Gegeben sei g: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] mit
[mm] g(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}\bruch{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} [/mm] , für [mm] (x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)^{T}
[/mm]
[mm] g(x_{1},x_{2})= [/mm] 0 , für [mm] (x_{1},x_{2})^{T}=(0,0)^{T}
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \partial_{1}\partial_{2}g(0,0) [/mm] und [mm] \partial_{2}\partial_{1}g(0,0). [/mm] Können die Ableitungen [mm] \partial_{1}\partial_{2}g(0,0) [/mm] und [mm] \partial_{2}\partial_{1}g(0,0) [/mm] stetig sein? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Wir haben das Thema erst vor Kurzem angefangen. Mit den anderen Aufgaben komme ich relativ gut zurecht, jedoch weiß ich hier nicht wie ich ansetzen soll, da dort nach [mm] \partial_{2}\partial_{1} [/mm] g(0,0) gefragt ist. Was hat dieses " g(0,0) " zu bedeuten, wenn ich ableite?
Soll ich erst normal nach [mm] \partial_{2}\partial_{1}g(x_{1},x_{2}) [/mm] ableiten und dann für die Variablen 0 einsetzen? Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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Hallo,
> Gegeben sei g: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]g(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}\bruch{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}[/mm]
> , für [mm](x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)^{T}[/mm]
>
> [mm]g(x_%257B1%257D%252Cx_%257B2%257D)%253D[/mm] 0 , für [mm](x_{1},x_{2})^{T}=(0,0)^{T}[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]\partial_{1}\partial_{2}g(0,0)[/mm] und
> [mm]\partial_{2}\partial_{1}g(0,0).[/mm] Können die Ableitungen
> [mm]\partial_{1}\partial_{2}g(0,0)[/mm] und
> [mm]\partial_{2}\partial_{1}g(0,0)[/mm] stetig sein? Begründen Sie
> Ihre Antwort.
>
> Wir haben das Thema erst vor Kurzem angefangen. Mit den
> anderen Aufgaben komme ich relativ gut zurecht, jedoch
> weiß ich hier nicht wie ich ansetzen soll, da dort nach
> [mm]\partial_{2}\partial_{1}[/mm] g(0,0) gefragt ist. Was hat dieses
> " g(0,0) " zu bedeuten, wenn ich ableite?
>
> Soll ich erst normal nach
> [mm]\partial_{2}\partial_{1}g(x_{1},x_{2})[/mm] ableiten und dann
> für die Variablen 0 einsetzen? Ich hoffe ihr könnt mir
> helfen.
Ich würde doch meinen, dass du die gemischten zweiten partiellen Ableitungen berechnen und an der Stelle [mm](x_1,x_2)=(0,0)[/mm] auswerten sollst.
Das eine Mal ist g zunächst nach [mm]x_1[/mm], dann nach [mm]x_2[/mm] abzuleiten, das andere Mal umgekehrt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
So war auch mein erster Gedanke. Nur muss ich dann [mm] g(x_{1},x_{2}) [/mm] ableiten für [mm] (x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)^{T} [/mm] ?
Und soll ich für diese Funktion die Produktregel anwenden ? Bin gerade ein wenig verwirrt.
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Zunächst mußt du die ersten partiellen Ableitungen [mm]\partial_1 g[/mm] und [mm]\partial_2 g[/mm] bestimmen. Ich zeige es dir einmal bei [mm]\partial_1 g[/mm].
Führe eine Fallunterscheidung durch. Für [mm](x_1,x_2) \neq (0,0)[/mm] wie gewohnt nach der Variablen [mm]x_1[/mm] ableiten. Zur Berechnung von [mm]\partial_1 g(0,0)[/mm] halte den zweiten Wert fest und bilde den Differenzenquotienten bezüglich der ersten Variablen. Vorbehaltlich der Existenz des Limes gilt:
[mm]\partial_1 g(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h,0)-g(0,0)}{h}[/mm]
Und wenn du die beiden ersten partiellen Ableitungen hast, dann berechne
[mm]\partial_2 \left( \partial_1 g \right) (0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{\partial_1 g (0,h) - \partial_1 g (0,0)}{h}[/mm]
Und in umgekehrter Reihenfolge.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ich habe für $ [mm] \partial_1 [/mm] g $ = [mm] x_{2}*\bruch{x_{1}^4-x_{2}^4}{(x_{1}^2-x_{2}^2)^ {2}} [/mm] raus. Kann das stimmen ?
Und kannst du mir bitte erklären weshalb ich den Differenzenquotienten bilden muss?
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Mein CAS sagt: [mm]\partial_1g(x_1,x_2) = \frac{x_2 \left( {x_1}^4 - {x_2}^4 + 4{x_1}^2 {x_2}^2 \right)}{\left( {x_1}^2 + {x_2}^2 \right)^2}[/mm] für [mm](x_1,x_2) \neq (0,0)[/mm]
Und den Differenzenquotienten mußt du bilden, weil du ableiten willst. So ist die Ableitung nun einmal definiert. Und fertige Formeln funktionieren hier nicht, weil die Definition bei [mm](0,0)[/mm] extra gegeben ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Hatte vergessen beim erweitern des Bruchs alles noch zusammenzufassen, sodass ein Teil weggefallen ist. Aber nun stimmt meine Ableitung.
Könnte ich denn nicht, wenn ich die Ableitung berechnet habe für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] die 0 einsetzen und schauen, was ich erhalte ?
Oder muss ich es tatsächlich mit dem Differenzenquotienten tun ?
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Tu, was du nicht lassen kannst. Ich lasse dich gerne ins Unglück rennen. Du wirst schon sehen ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Das war gar nicht so gemeint. Das war eine einfache Frage. Ich bin natürlich daran interessiert das richtige Ergebnis zu haben und bin auch dankbar für Deine Hilfe, sowie wie den anderen Personen die mir hier helfen. Nur stehe ich bei dieser Aufgabe echt auf dem Schlauch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Do 19.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
So ich bin einmal deinen Rat gefolgt und hoffe, dass es so richtig ist für $ [mm] \partial_1 [/mm] g $ :
$ [mm] \partial_1 [/mm] g(0,0) = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{g(h,0)-g(0,0)}{h} [/mm] $= 0
$ [mm] \partial_2 \left( \partial_1 g \right) [/mm] (0,0) = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\partial_1 g (0,h) - \partial_1 g (0,0)}{h} [/mm] $ = [mm] -\infty
[/mm]
Für [mm] \partial_2 [/mm] g müsste ich den selben Weg dann gehen. Oder?
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[mm]\partial_1 g(0,0) = 0[/mm] habe ich auch. Für [mm]\partial_2 ( \partial_1 g) (0,0)[/mm] habe ich etwas anderes:
[mm]\partial_1 g (0,h) = h \cdot \frac{0^4-h^4+4 \cdot 0^2 \cdot h^2}{\left( 0^2 + h^2 \right)^2} = -h[/mm] für [mm]h \neq 0[/mm]
[mm]\partial_1 g (0,0) =0[/mm], wie zuvor gezeigt
[mm]\partial_2 ( \partial_1 g) (0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{\partial_1 g (0,h) - \partial_1 g (0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h-0}{h} = -1[/mm]
Was erhältst du mit demselben Vorgehen für [mm]\partial_1 ( \partial_2 g) (0,0)[/mm] ? Beachte anschließend den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Schwarz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Fr 20.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
SO ich sollte nun alles haben, was wir für diese Aufgabe benötigen. Ich habe folgendes raus :
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_{1}}g(x_ {1},x_{2}) [/mm] = [mm] x_{2}\bruch{(x_{1}^{4}-x_{2}^{4}+4x_{1}^{2}x_{2}^{2})}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2}} [/mm] für [mm] (x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)^{T}
[/mm]
$ [mm] \partial_1 [/mm] g(0,0) $ = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{g(h,0)-g(0,0)}{h}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \partial_1 [/mm] g(0,0) $ = 0
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_{2}}g(x_ {1},x_{2}) [/mm] = [mm] x_{1}\bruch{(x_{1}^{4}-x_{2}^{4}-4x_{1}^{2}x_{2}^{2})}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2}} [/mm] für [mm] (x_{1},x_{2})^{T}\not=(0,0)\not=^{T}
[/mm]
[mm] \partial_2g(0,0) [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{g(0,h)-g(0,0)}{h}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \partial_2g(0,0)= [/mm] 0
$ [mm] \partial_2 \left( \partial_1 g \right) [/mm] (0,0) = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\partial_1 g (0,h) - \partial_1 g (0,0)}{h} [/mm] $ = - [mm] \bruch{h^{5}}{h^{5}} [/mm] = -1
$ [mm] \partial_1 [/mm] ( [mm] \partial_2 [/mm] g) (0,0) $ = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\partial_1 g (h,0) - \partial_1 g (0,0)}{h} [/mm] = 1
Was mir auffällt ist, dass die partiellen Ableitungen sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden ( vor dem [mm] 4x_{1}^{2}x_{2}^{2}) [/mm] unterscheiden. Wenn ich [mm] \partial_2 \left( \partial_1 g \right) [/mm] (0,0) und [mm] \partial_1 [/mm] ( [mm] \partial_2 [/mm] g) (0,0) berechne erhalte ich -1 und 1. Nach Satz von Schwarz ist es irrelevant in welcher Reihenfolge man partiell differenziert. Da sich jedoch die Ergebnisse unterscheiden ( -1 und 1) kann man über $ [mm] \partial_{1}\partial_{2}g(0,0) [/mm] $
und $ [mm] \partial_{2}\partial_{1}g(0,0) [/mm] $ sagen, dass diese nicht stetig sind, da der Satz von Steiner die Stetigkeit der zweiten Ableitung voraussetzt.
Kann ich es so lassen ? Oder habe ich etwas vergessen oder gar falsch ?
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Aus Herrn Schwarz hast du Herrn Steiner gemacht. Ob das den beiden wohl gefällt?
Beachte: Stetigkeit ist keine Eigenschaft reeller Zahlen, sondern von Funktionen bei reellen Zahlen. Überprüfe daraufhin deine Formulierung.
Sonst ist es o.k.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 21.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Wie ich auf Herrn Steiner komme bleibt mir ein Rätsel. :D
Muss die zweite partielle Ableitung anstatt
$ [mm] \partial_1 [/mm] ( [mm] \partial_2 [/mm] g) (0,0) $ = $ [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\partial_1 g (h,0) - \partial_1 g (0,0)}{h} [/mm] $
nicht so lauten :
$ [mm] \partial_1 [/mm] ( [mm] \partial_2 [/mm] g) (0,0) $ = $ [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\partial_2 g (h,0) - \partial_2 g (0,0)}{h} [/mm] $
Oder war es schon richtig?
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Richtig. Das mußt du ändern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Sa 21.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Und
$ [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\partial_2 g (h,0) - \partial_2 g (0,0)}{h} [/mm] $
ist schon richtig und nicht
$ [mm] \lim_{h \to 0} \frac{\partial_2 g (0,h) - \partial_2 g (0,0)}{h} [/mm] $ oder?
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Wenn du nach der ersten Variablen ableiten willst, dann muß sich die Veränderung [mm]h[/mm] im ersten Argument vollziehen, während das zweite Argument konstant bleibt. Und wenn du nach der zweiten Variablen ableiten willst, ist es umgekehrt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Sa 21.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Super, dann war es richtig so.
Ich danke dir noch einmal für deine tolle Hilfe.
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Von mir war es auch nicht so gemeint. Dir sollte beim Einsetzen nur aufgehen, daß der Ableitungsterm, den man für [mm](x,y) \neq 0[/mm] erhält, gar nicht definiert ist, wenn man [mm](x,y)=(0,0)[/mm] einsetzt. Einmal ganz abgesehen davon, daß man nicht nachträglich [mm](0,0)[/mm] einsetzen darf, wenn man bei der Herleitung [mm](x,y) \neq (0,0)[/mm] vorausgesetzt hat.
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