Stetigkeit untersuchen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist durch [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{sin x}{e^{x}-1}, & \mbox{für } x >0 \\ 1+x, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases} [/mm] defenierte Funktion an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] stetig? Bestimmen sie dazu die einseitigen Grenzwerte von f bei [mm] x_{0} [/mm] |
Meine Frage ist nun wenn ich den bereich 0+ untersuche müsste ich ja die obige Definition untersuchen und bei 0- die untere. Dann heist das bei 0- ist dann der Grenzwert 1?
Währe nett wenn mir jemand erklärt wie ich da schritt für schritt vorgehe.
Danke und Gruß niesel
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Hallo niesel!
Du hast doch bisher alles richtig gemacht. Um nun auch die Stetigkeit nachzuweisen, musst Du nunmehr den rechtsseitigen Grenzwert ermitteln:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow0\downarrow}\bruch{\sin(x)}{e^x-1} [/mm] \ = \ ...$
Da es sich für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ um den Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] handelt, darfst Du den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital anwenden.
Stimmt dieser Grenzwert dann mit dem linksseitigen Grenzwert = 1 überein, ist die Funktion auch bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ stetig.
Gruß vom
Roadrunner
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wenn [mm] x\to1 [/mm] geht ensteht [mm] \bruch{0}{0}? [/mm] das würde passieren wenn [mm] x\to0 [/mm] geht den sin(0)=0 und [mm] e^0=1. [/mm] So richtig kann ich deiner erklärung nicht folgen
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Di 13.03.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo niesel!
Mein Fehler, es heißt natürlich jeweils [mm] $x\rightarrow\red{0}$ [/mm] . Ich habe es auch oben bereits korrigiert.
Gruß vom
Roadrunner
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