Stetigkeit und Definitionsbere < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
Defintionsbereich D = R\ {-2}
Stetigkeit
[mm] \limes_{n\frightarrow\infty} [/mm] x+2 = 1
somit ist die Funktion stetig da
f(1) = 3 ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Sa 10.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Lisa,
wie lautet die Frage?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
die Frage ist wie ist der Definitionsbereich und ist die Funktion stetig
überprüfe
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Hallo Lisa,
> die Frage ist wie ist der Definitionsbereich und ist die
> Funktion stetig
> überprüfe
Sind das oben Betragstriche?
Die bekommst du mit "AltGr + Kleiner-größer"-Taste hin.
Die Funktion lautet also vllt. $f(x)=|x+2|$
Du hattest geschrieben, dass der Definitionsbereich [mm] $\IR\setminus\{-2\}$ [/mm] sei.
Wie kommst du darauf?
Für [mm] $\blue{x=-2}$ [/mm] ergibt sich doch [mm] $f(\blue{-2})=|\blue{-2}+2|=|0|=0$
[/mm]
Das ist doch alles wohldefiniert.
Damit ist [mm] $\mathbb{D}_f=\IR$
[/mm]
Was die Stetigkeit angeht, so schreibe die Funktion betragsfrei:
[mm] $|x+2|=\begin{cases} x+2, & \mbox{für } x+2\ge 0 \\ -(x+2), & \mbox{für } x+2<0 \end{cases}=\begin{cases} x+2, & \mbox{für } x\ge -2 \\ -x-2, & \mbox{für } x<-2 \end{cases}$
[/mm]
Nun, außerhalb von $x=-2$ sind das als Polynome sicher stetige Funktionen, einzig die "Nahtstelle" $x=-2$ ist "spannend"
Berechne hier den linksseitigen und rechtsseitigen Limes:
(1) [mm] $\lim\limits_{x\uparrow -2}f(x)$ [/mm] und (2) [mm] $\lim\limits_{x\downarrow -2}f(x)$
[/mm]
Wenn diese beiden Grenzwerte existieren und beide $=f(-2)=0$ sind, so ist die Funktion auch in $x=-2$ stetig.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Sa 10.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 2} [/mm] = -2 +2 = 0
somit existiert der Grenzwert rechtsseitig
linksseitig da [mm] \limes_{n\rightarrow\ 2} [/mm] = 2-2 dies ist 0
somit eine stetige Funktion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{\red{n}\rightarrow\ \red{2}}\red{\text{von was bitteschön?}}[/mm] = -2 +2 = 0
sollte da nicht eher [mm] $\blue{x} \to \blue{-2}$ [/mm] unter dem [mm] $\lim$ [/mm] stehen? Und ferner: Von was bitteschön betrachtest Du den Grenzwert? Auch, wenn mir das hier klar ist, ist das oben formal sehr mit Mängeln behaftet. Eine saubere Notation erleichtert das Verständnis!
> somit existiert der Grenzwert rechtsseitig
>
> linksseitig da [mm]\red{\limes_{n\rightarrow\ 2}}[/mm]
s.o.
> = 2-2 dies ist 0
> somit eine stetige Funktion
Du musst bzw. solltest Dir eine saubere Notation angewöhnen:
Rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0=-2$:
[/mm]
[mm] $$\lim_{\substack{\blue{x} \to -2\\x > -2}}f(x)=\lim_{\substack{\blue{x} \to -2\\x > -2}}|x+2|\;\;\;\underset{\substack{\text{da für }x > -2 \text{ gilt:}\\f(x)=|x+2|=x+2}}{=}\;\;\;\lim_{\substack{\blue{x} \to -2\\x > -2}}(x+2)\;\;\green{=\Big(\lim_{\substack{\blue{x} \to -2\\x > -2}}x\Big)+2}=-2+2=0\;\;\green{\Big(=|0|=|-2+2|=f(-2)\Big)}\,.$$
[/mm]
(Das Grünmarkierte kann man ggf. bzw. auch teilweise weglassen, sollte aber zum besseren Verständnis dienen.)
Analog schreibst Du das ganze für den linksseitigen Grenzwert auf.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> ...
> Die Funktion lautet also vllt. [mm]f(x)=|x+2|[/mm]
> ...
> Was die Stetigkeit angeht, so schreibe die Funktion
> betragsfrei:
>
> [mm]|x+2|=\begin{cases} x+2, & \mbox{für } x+2\ge 0 \\ -(x+2), & \mbox{für } x+2<0 \end{cases}=\begin{cases} x+2, & \mbox{für } x\ge -2 \\ -x-2, & \mbox{für } x<-2 \end{cases}[/mm]
>
> Nun, außerhalb von [mm]x=-2[/mm] sind das als Polynome sicher
> stetige Funktionen, einzig die "Nahtstelle" [mm]x=-2[/mm] ist
> "spannend"
>
> Berechne hier den linksseitigen und rechtsseitigen Limes:
>
> (1) [mm]\lim\limits_{x\uparrow -2}f(x)[/mm] und (2)
> [mm]\lim\limits_{x\downarrow -2}f(x)[/mm]
>
> Wenn diese beiden Grenzwerte existieren und beide [mm]=f(-2)=0[/mm]
> sind, so ist die Funktion auch in [mm]x=-2[/mm] stetig.
warum soviel Mühe? Zumindest, wenn bekannt ist, dass Verknüpfungen (und auch Summen, Produkte,...) stetiger Funktionen wieder stetig sind, gibt's hier ein sehr einfaches Argument, um einzusehen, dass $f(x)=|x+2|$ stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist. Natürlich muss dazu wiederum bekannt sein, dass $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist; aber das ist auch, wenn's nicht bekannt ist, mit einem Argument analog zu Deinem Vorschlag oben, leicht einzusehen.
Gruß,
Marcel
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