Stetigkeit tan(x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mi 06.01.2010 | | Autor: | thegeni |
| Aufgabe | Sei D die Teilmenge D= [mm] \IR \backslash \{ (n+\bruch{1}{2}) \pi | n \in \IZ \}. [/mm]
Wir definieren den Tangens als die Abbildung
[mm] \tan: [/mm] D [mm] \to \IR,x\mapsto \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}.
[/mm]
Zeige, dass tan stetig ist. |
Ich habe es versucht mit dem Folgenkriterium zu Beweisen:
[mm] \forall (x_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] {\tilde_x}: \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f({\tilde_x}) [/mm] und [mm] x_n \in [/mm] D, [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n) [/mm] = [mm] \tan({\tilde_x})
[/mm]
2) [mm] \limes_{x \searrow {\tilde_x}} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n) [/mm] = [mm] \tan({\tilde_x}) \wedge x_n [/mm] > [mm] \tilde_x
[/mm]
3) [mm] \limes_{x \nearrow {\tilde_x}} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n) [/mm] = [mm] \tan({\tilde_x}) \wedge x_n [/mm] <= [mm] \tilde_x
[/mm]
Jetzt ist meine frage, ist das so Richtig? oder fehlt mir da noch was zu einem Beweis.
vielen Dank im Voraus
Gruß
TheGeni
Ich habe diese Frage in keinem anderen Froum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 06.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei D die Teilmenge D= [mm]\IR \backslash \{ (n+\bruch{1}{2}) \pi | n \in \IZ \}.[/mm]
> Wir definieren den Tangens als die Abbildung
> [mm]\tan:[/mm] D [mm]\to \IR,x\mapsto \bruch{\sin(x)}{\cos(x)}.[/mm]
>
> Zeige, dass tan stetig ist.
> Ich habe es versucht mit dem Folgenkriterium zu Beweisen:
>
> [mm]\forall (x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> = [mm]{\tilde_x}: \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f({\tilde_x})[/mm]
> und [mm]x_n \in[/mm] D, [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> 1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n)[/mm] = [mm]\tan({\tilde_x})[/mm]
>
> 2) [mm]\limes_{x \searrow {\tilde_x}}[/mm] f(x) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n)[/mm] = [mm]\tan({\tilde_x}) \wedge x_n[/mm]
> > [mm]\tilde_x[/mm]
>
> 3) [mm]\limes_{x \nearrow {\tilde_x}}[/mm] f(x) =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n)[/mm] = [mm]\tan({\tilde_x}) \wedge x_n[/mm]
> <= [mm]\tilde_x[/mm]
>
>
> Jetzt ist meine frage, ist das so Richtig? oder fehlt mir
> da noch was zu einem Beweis.
>
> vielen Dank im Voraus
>
> Gruß
>
> TheGeni
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Froum gestellt.
Hallo,
wieso beziehst du dich nicht einfach auf die Stetigkeit von Sinus und Kosinus?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 06.01.2010 | | Autor: | thegeni |
Das ist natürlich auch eine möglichkeit, jedoch würde mich trotzdem interesieren ob der beweis so in ordnung ist.
Gruß
TheGeni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 06.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast eigentlich nichts gemacht, ausser die Behauptung wieder umgeformt hinzuschreiben, in dem du die Folgenstetigkeit ausführlich hingeschrieben hast. (es fehlt dabei noch: für beliebige Folgen [mm] x_n)
[/mm]
warum sind etwa eineige punkte vin [mm] \IR [/mm] ausgeschlossen?
aber von tan weisst du nur tan=sin/cos
da braucht es den ein oder anderen zitierten Satz, um nen Beweis zu machen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 06.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TheGeni,
als Ergänzung zu den bisherigen Antworten hier noch Kommentare zu den einzelnen Stellen deines Textes:
> Ich habe es versucht mit dem Folgenkriterium zu Beweisen:
>
> [mm]\forall (x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]{\tilde_x}: \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f({\tilde_x})[/mm] und [mm]x_n \in[/mm] D, [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
Das sollte heißen: [mm]\forall (x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]x_n\in D[/mm] [mm]\forall n\in\IN[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]{\tilde_x}: \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f({\tilde_x})[/mm].
> 1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n)[/mm] = [mm]\tan({\tilde_x})[/mm]
Das rechte Gleichheitszeichen ist überhaupt nicht klar, solange man nicht weiß, dass tan stetig ist. Genau diese Gleichheit ist für die Stetigkeit von tan zu beweisen!
> 2) [mm]\limes_{x \searrow {\tilde_x}}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n)[/mm] = [mm]\tan({\tilde_x}) \wedge x_n[/mm] > [mm]\tilde_x[/mm]
>
> 3) [mm]\limes_{x \nearrow {\tilde_x}}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \tan(x_n)[/mm] = [mm]\tan({\tilde_x}) \wedge x_n[/mm] <= [mm]\tilde_x[/mm]
Was tust du da? Anscheinend versuchst du bei 2) die rechtsseitige und bei 3) die linksseitige Stetigkeit nachzuweisen. Das ist grundsätzlich auch eine Möglichkeit, die Stetigkeit einer Funktion zu zeigen. Dann verstehe ich aber nicht, wozu du 1) brauchst? Oder andersrum: wozu würdest du 2) und 3) brauchen, wenn du 1) gezeigt hättest?
Ansonsten gilt für 2) und 3) Analoges zu den oben beschriebenen Kritikpunkten.
Lass dich nicht entmutigen, mit dem Vorschlag von abakus scheinst du ja zurecht zu kommen!
Viele Grüße
Tobias
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