Stetigkeit / partiell Dif.-bar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Lin_Lin |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f: [mm] \IR^{2} \to \IR: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \begin{cases} \bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} , & \mbox{für (x,y)} \not= \mbox{(0,0)} \\ 0, & \mbox{für (x,y) = (0,0)} \end{cases}
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass f selbst nicht stetig ist, jedoch die Einschränkung von f auf jede Gerade y = ax, a [mm] \in \IR [/mm] , oder x=0.
2. Beweisen Sie, dass in jedem Punkt (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] alle Richtungsableitungen von f existieren, aber mindestens eine der beiden partiellen Ableitungen im Nullpunkt nicht stetig ist.
Hinweis: Ist f im Nullpunkt differenzierbar? |
Hallo erstmal =)
So, mein hauptsächliches Problem habe ich mit der ersten Teilaufgabe. Ich habe versucht zu zeigen, dass f nicht stetig ist mit Hilfe der Definition von Stetigkeit in metrischen Räumen, bin damit aber auf nichts vernünftiges gekommen, da mir der Umgang mit dieser Definition recht schwer fällt. Dann hatte ich die Idee x und y gegen einen Wert laufen zu lassen, also z.Bsp:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0}(\bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}})) [/mm] und versucht einen Widerspruch zu [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow x}(\bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}))
[/mm]
finden (beim 2. läuft y gegen x). Das hat leider auch nicht geklappt...
Wie kann/sollte ich hier am besten vorgehen?
Verstehe ich das mit der Einschränkung von f auf jede gerade y=ax richtig, dass ich dann statt [mm] \bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} [/mm] , [mm] \bruch{x^{2}ax}{x^{4}+(ax)^{2}} [/mm] habe?
Zum zweiten Teil der Aufgabe habe ich noch keine konkreten Fragen, da ich mich mit der Richtungsableitung noch nicht ordentlich selbst beschäftigt habe. Die partiellen Ableitungen habe ich bereits berechnet.
Vielen Dank schonmal für Antworten und Hilfestellungen =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du kannst die unstetigkeit im Nullpunkt zeigen, indem du für x und y (Null-)Folgen betrachtest.
Wähle hierzu [mm] x_n=\frac{1}{n} [/mm] und [mm] y_n=\frac{1}{n^2}
[/mm]
> Gegeben sei die Funktion
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR:[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} , & \mbox{für (x,y)} \not= \mbox{(0,0)} \\ 0, & \mbox{für (x,y) = (0,0)} \end{cases}[/mm]
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> 1. Zeigen Sie, dass f selbst nicht stetig ist, jedoch die
> Einschränkung von f auf jede Gerade y = ax, a [mm]\in \IR[/mm] ,
> oder x=0.
> 2. Beweisen Sie, dass in jedem Punkt (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> alle Richtungsableitungen von f existieren, aber mindestens
> eine der beiden partiellen Ableitungen im Nullpunkt nicht
> stetig ist.
> Hinweis: Ist f im Nullpunkt differenzierbar?
> Hallo erstmal =)
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> So, mein hauptsächliches Problem habe ich mit der ersten
> Teilaufgabe. Ich habe versucht zu zeigen, dass f nicht
> stetig ist mit Hilfe der Definition von Stetigkeit in
> metrischen Räumen, bin damit aber auf nichts vernünftiges
> gekommen, da mir der Umgang mit dieser Definition recht
> schwer fällt. Dann hatte ich die Idee x und y gegen einen
> Wert laufen zu lassen, also z.Bsp:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow 0}(\bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}))[/mm]
> und versucht einen Widerspruch zu [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(\limes_{y\rightarrow x}(\bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}))[/mm]
>
> finden (beim 2. läuft y gegen x). Das hat leider auch
> nicht geklappt...
> Wie kann/sollte ich hier am besten vorgehen?
> Verstehe ich das mit der Einschränkung von f auf jede
> gerade y=ax richtig, dass ich dann statt
> [mm]\bruch{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}[/mm] ,
> [mm]\bruch{x^{2}ax}{x^{4}+(ax)^{2}}[/mm] habe?
ja genau. Im prinzip setzt du die neuen "Werte" ein und prüfst nun die Stetigkeit.
Es gibt aber noch eine bessere Methode. Die beruht auf Polarkoordinaten. Also bei solchen Aufgaben kommt man manchmal mit Polarkoordinaten wirklich sehr weit.
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> Zum zweiten Teil der Aufgabe habe ich noch keine konkreten
> Fragen, da ich mich mit der Richtungsableitung noch nicht
> ordentlich selbst beschäftigt habe. Die partiellen
> Ableitungen habe ich bereits berechnet.
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> Vielen Dank schonmal für Antworten und Hilfestellungen =)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 21.11.2013 | | Autor: | Lin_Lin |
Hallo Richie1401!
Danke für die schnelle Antwort und Sorry für meine späte Rück-Reaktion!
Der Tipp mit den Folgen hat mir sehr weiter geholfen, damit habe ich die Aufgabe dann lösen können =)
Mit den selben Folgen konnte ich auch die Unstetigkeit der partiellen Ableitung nachweisen und die Existenz aller Richtungsableitungen folgt ja unmittelbar aus der Existenz der partiellen Ableitungen.
Liebe Grüße
Lin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Richie1401!
> Danke für die schnelle Antwort und Sorry für meine
> späte Rück-Reaktion!
> Der Tipp mit den Folgen hat mir sehr weiter geholfen,
> damit habe ich die Aufgabe dann lösen können =)
> Mit den selben Folgen konnte ich auch die Unstetigkeit der
> partiellen Ableitung nachweisen
> und die Existenz aller
> Richtungsableitungen folgt ja unmittelbar aus der Existenz
> der partiellen Ableitungen.
Das ist im allgemeinen nicht richtig !
Beispiel
f: $ [mm] \IR^{2} \to \IR: [/mm] $ (x,y) $ [mm] \mapsto \begin{cases} \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}} , & \mbox{für (x,y)} \not= \mbox{(0,0)} \\ 0, & \mbox{für (x,y) = (0,0)} \end{cases} [/mm] $
In jedem Punkt (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ex. die partiellen Ableitungen [mm] f_x(x,y) [/mm] und [mm] f_y(x,y).
[/mm]
Nun schauen wir mal, welche Richtungsableitungen in (0,0) existieren. Dazu sei [mm] a=(a_1,a_2) \in \IR^2 [/mm] eine Richtung, also [mm] a_1^2+a_2^2=1.
[/mm]
Es ist (nachrechnen !)
[mm] \bruch{f(ta)-f(0,0)}{t}= \bruch{a_1*a_2}{t}.
[/mm]
Das bedeutet:
[mm] \limes_{t \rightarrow 0} \bruch{f(ta)-f(0,0)}{t} [/mm] existiert [mm] \gdw a_1*a_2=0 \gdw [/mm] a [mm] \in \{(1,0),(0,1), (-1,0), (0,-1)\}.
[/mm]
Die Richtungsableitung in (0,0) ex. also nur für herzlich wenig Richtungen.
FRED
> Liebe Grüße
> Lin
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