Stetigkeit mit Folgenkriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Aufgabe:
f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR
[/mm]
f(x,y)= [mm] \wurzel{x^2 + y^2}
[/mm]
Man beweise mit Hilfe des Folgenkriteriums, dass f stetig in (0, 0) ist.
Ich bin mir nichts sicher, ob ich das Folgenkriterium richtig anwende: [mm] (a_k) [/mm] seien die Folgen, die gegen (0, 0) konvergieren. Also gilt [mm] f((a_k)) \rightarrow [/mm] 0. Ist damit wirklich das Folgenkriterium erfüllt oder mache ich es mir zu einfach?
Viel Dank für eure Antworten!
Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Nam |
Das ist schon richtig so. Natürlich musst du noch begründen, warum das so ist, aber es ist richtig:
Wenn du eine Folge [mm](a_k)_k[/mm] hast, die gegen [mm](0,0)[/mm] konvergiert, dann muss auch [mm](f(a_k))_k[/mm] gegen [mm]f(0,0) = 0[/mm] konvergieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Julia!
> Hallo,
> Aufgabe:
> f: [mm]\IR^2 \rightarrow \IR[/mm]
> f(x,y)= [mm]\wurzel{x^2 + y^2}[/mm]
> Man
> beweise mit Hilfe des Folgenkriteriums, dass f stetig in
> (0, 0) ist.
>
> Ich bin mir nichts sicher, ob ich das Folgenkriterium
> richtig anwende: [mm](a_k)[/mm] seien die Folgen, die gegen (0, 0)
> konvergieren. Also gilt [mm]f((a_k)) \rightarrow[/mm] 0. Ist damit
> wirklich das Folgenkriterium erfüllt oder mache ich es mir
> zu einfach?
Wie Nam schon geschrieben hat, ist das natürlich die Idee. Aber dir fehlt formal wirklich einiges, ich gebe dir mal Hinweise:
Sei [mm] $(a_k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $\limes_{k \to \infty}a_k=(0,0)$. [/mm] Dann gilt:
Es existieren Folgen [mm] $(b_k)_{k \in \IN}$, $(c_k)_{k \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IR$, [/mm] so dass für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $a_k=(b_k,c_k)$. [/mm] Weiterhin gilt für diese Folgen:
[mm] $\lim_{k \to \infty}b_k=\lim_{k \to \infty}c_k=0$.
[/mm]
Damit folgt:
[mm]\lim_{k \to \infty}f(a_k)=\lim_{k \to \infty}f(b_k,c_k)\stackrel{nach\;Def.\;von\;f}{=}\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\ldots=0=f(0,0)=f\left(\lim_{k \to \infty}a_k\right)[/mm]
(Beachte bei der Schreibweise, dass $f(r,s)$ eigentlich $f((r,s))$ bedeutet, also: $f(r,s):=f((r,s))$ [mm] ($\forall [/mm] (r,s) [mm] \in \IR^2$). [/mm] Man spart sich nur beim Aufschreiben ein Klammernpaar!)
Schaffst du es, die [mm] $\ldots$ [/mm] noch zu ergänzen? (Dazu solltest du unter anderem die Stetigkeit der [mm] $\wurzel{\;}$-Funktion [/mm] ausnutzen sowie "Rechenregeln für Grenzwerte")!
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Di 26.04.2005 | | Autor: | Nam |
> Damit
> folgt:
> [mm]\lim_{k \to \infty}f(a_k)=\lim_{k \to \infty}f(b_k,c_k)\stackrel{nach\;Def.\;von\;f}{=}\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\ldots=0=f(0,0)=f\left(\lim_{k \to \infty}a_k\right)[/mm]
>
> (Beachte bei der Schreibweise, dass [mm]f(r,s)[/mm] eigentlich
> [mm]f((r,s))[/mm] bedeutet, also: [mm]f(r,s):=f((r,s))[/mm] ([mm]\forall (r,s) \in \IR^2[/mm]).
> Man spart sich nur beim Aufschreiben ein Klammernpaar!)
>
> Schaffst du es, die [mm]\ldots[/mm] noch zu ergänzen? (Dazu solltest
> du unter anderem die Stetigkeit der [mm]\wurzel{\;}[/mm]-Funktion
> ausnutzen sowie "Rechenregeln für Grenzwerte")!
Hi Marcel,
dazu hätte ich selber mal ne Frage: warum ist die Stetigkeit der Wurzel dazu nötig?
Ich meine, wenn ich ne eine Folge [mm]a_k = (b_k, c_k)[/mm] mit [mm]\lim_{k \to \infty}b_k=\lim_{k \to \infty}c_k=0[/mm] habe, dann ist doch:
[mm]\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\wurzel{0^2 + 0^2} = 0[/mm]
Wo brauch ich da die Stetigkeit der Wurzel?
Oder darf ich diesen Schritt gar nicht ohne weiteres machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Di 26.04.2005 | | Autor: | Nam |
Hi,
danke dir. Alles klar.
Also folgt daraus:
[mm]0 \leq \limes_{n \to \infty}{f(x_n, y_n)} = \limes_{n \to \infty}{\sqrt(x_n^2+y_n^2)} \leq \limes_{n \to \infty}{\sqrt(2) * max\{|x_n|,|y_n|\}}[/mm]
Aus [mm]\lim_{n \to \infty}{x_n} = \lim_{n \to \infty}{y_n} = 0[/mm] folgt dann:
[mm]0 = \limes_{n \to \infty}{f(x_n, y_n)} = \limes_{n \to \infty}{\sqrt(2) * max\{|x_n|,|y_n|\}}[/mm]
Und weil [mm]\limes_{n \to \infty}{f(x_n, y_n)} = \limes_{(x,y) \to (0,0)}{f(x,y)}[/mm] ist also
[mm]\limes_{(x,y) \to (0,0)}{f(x,y)} = 0 = f(0, 0)[/mm], was ja die Stetigkeit von f in (0,0) bedeutet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Di 26.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nam!
> > Damit
> > folgt:
> > [mm]\lim_{k \to \infty}f(a_k)=\lim_{k \to \infty}f(b_k,c_k)\stackrel{nach\;Def.\;von\;f}{=}\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\ldots=0=f(0,0)=f\left(\lim_{k \to \infty}a_k\right)[/mm]
>
> >
> > (Beachte bei der Schreibweise, dass [mm]f(r,s)[/mm] eigentlich
> > [mm]f((r,s))[/mm] bedeutet, also: [mm]f(r,s):=f((r,s))[/mm] ([mm]\forall (r,s) \in \IR^2[/mm]).
> > Man spart sich nur beim Aufschreiben ein Klammernpaar!)
> >
> > Schaffst du es, die [mm]\ldots[/mm] noch zu ergänzen? (Dazu solltest
> > du unter anderem die Stetigkeit der [mm]\wurzel{\;}[/mm]-Funktion
> > ausnutzen sowie "Rechenregeln für Grenzwerte")!
>
>
> Hi Marcel,
>
> dazu hätte ich selber mal ne Frage: warum ist die
> Stetigkeit der Wurzel dazu nötig?
Naja, nötig ist es nicht (siehe z.B. Julius Antwort), aber wenn man zur Verfügung hat, dass die [mm] $\wurzel{\;}$-Fkt. [/mm] stetig ist, dann kann man wie folgt argumentieren:
[mm]\lim_{k \to \infty}f(a_k)=\lim_{k \to \infty}f(b_k,c_k)\stackrel{nach\;Def.\;von\;f}{=}\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})\stackrel{\wurzel{\;}-Fkt. \;stetig}{=}\wurzel{\lim_{k \to \infty}\left((b_k)^2+(c_k)^2\right)}=\wurzel{\lim_{k \to \infty}(b_k)^2+\lim_{k \to \infty}(c_k)^2}[/mm]
[mm]=\wurzel{\left(\lim_{k \to \infty}b_k\right)^2+\left(\lim_{k \to \infty}c_k\right)^2}=\wurzel{0^2+0^2}=\wurzel{0}=
0=\wurzel{0^2+0^2}=f(0,0)=f\left(\lim_{k \to \infty}a_k\right)[/mm]
> Ich meine, wenn ich ne eine Folge [mm]a_k = (b_k, c_k)[/mm] mit
> [mm]\lim_{k \to \infty}b_k=\lim_{k \to \infty}c_k=0[/mm] habe, dann
> ist doch:
> [mm]\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\wurzel{0^2 + 0^2} = 0[/mm]
>
> Wo brauch ich da die Stetigkeit der Wurzel?
Du benutzt doch hier die Stetigkeit der Wurzelfunktion in [mm] $x_0=0$ [/mm] (mit dem Folgenkriterium):
[mm]\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\wurzel{0^2 + 0^2}[/mm]
Das machst du vielleicht unbewußt (weil du es aus Gewohnheit schnell gemacht hast), aber was du eigentlich gemacht hast, ist folgendes:
Du hast zunächst den Limes unter die Wurzel gezogen:
[m]\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\lim_{k \to \infty}\wurzel{\limes_{k \to \infty}\left((b_k)^2+(c_k)^2\right)}[/m], und das darfst du, weil du Wurzelfunktion (in [mm] $x_0=0$) [/mm] stetig ist. Danach hast du "Rechenregeln für Grenzwerte" ausgenutzt (genauer steht das bei mir oben), und kamst dann zu dem Ergebnis:
[mm]\lim_{k \to \infty}(\wurzel{(b_k)^2+(c_k)^2})=\wurzel{0^2 + 0^2}[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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), sondern vielmehr direkt eine Abschätzung vornehmen soll.
