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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\gamma) [/mm] ein topologischer Raum. Betrachte die Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] f_n [/mm] : X [mm] \rightarrow \IR [/mm] und $ [mm] f_n \rightarrow_{n \rightarrow \infty} [/mm] f$ gleichmässig. Fixiere einen Punkt x [mm] \in [/mm] X und nimm an, dass [mm] $f_n$ [/mm] stetig in $x$ $ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Zeige: f ist stetig in $x$ |
Wie hatten die Definition (*)
f stetig in $x [mm] \Leftrightarrow f^{-1} [/mm] (U) $ ist Umgebung von x [mm] \forall [/mm] U Umgebung von f(x)
[mm] U_f:=B(f(x),\epsilon_U) [/mm] ist eine beliebiege Umgebung von f(x) mit [mm] \epsilon_U>0 [/mm] beliebig.
[mm] U_f_n:=B(f_n(x),\epsilon_U)
[/mm]
Das gleiche versuche ich auch für den Raum X zu machen, obwohl mir nicht klar ist, wie dort eine solche Metrik ausschauen soll bzw. ob es überhaupt eine gibt???
[mm] U_x [/mm] := [mm] \{y\in X: |x-y|<\delta\}
[/mm]
Warum darf ich das, wenn ich das darf? Was ist die Metrik auf X? Spricht man einfach von einer "Umgebung" ohne Mass?
Die gleichmässige Konvergenz erlaubt es mir nun, ein [mm] N\in \IN [/mm] zu wählen, dass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\bruch{\epsilon_U}{2} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Was ich auch nicht verstehe:
Die Stetigkeit von [mm] f_n [/mm] sagt ja, dass wenn y [mm] \in U_x \Rightarrow f_n(y)\in U_f_n [/mm] .
Aber um das mit der Defintion (*) zu beweisen, bräuchte ich doch die umgekehrte Richtung?
?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Mo 15.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](X,\gamma)[/mm] ein topologischer Raum. Betrachte die
> Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]f_n[/mm] : X [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> und [mm]f_n \rightarrow_{n \rightarrow \infty} f[/mm] gleichmässig.
> Fixiere einen Punkt x [mm]\in[/mm] X und nimm an, dass [mm]f_n[/mm] stetig in
> [mm]x[/mm] [mm]\forall n \in \IN[/mm].
>
> Zeige: f ist stetig in [mm]x[/mm]
> Wie hatten die Definition (*)
> f stetig in [mm]x \Leftrightarrow f^{-1} (U)[/mm] ist Umgebung von
> x [mm]\forall[/mm] U Umgebung von f(x)
>
> [mm]U_f:=B(f(x),\epsilon_U)[/mm] ist eine beliebiege Umgebung von
> f(x) mit [mm]\epsilon_U>0[/mm] beliebig.
> [mm]U_f_n:=B(f_n(x),\epsilon_U)[/mm]
>
> Das gleiche versuche ich auch für den Raum X zu machen,
> obwohl mir nicht klar ist, wie dort eine solche Metrik
> ausschauen soll bzw. ob es überhaupt eine gibt???
X ist nicht notwendig ein metr. Raum. X ist nur ein topologischer Raum.
>
> [mm]U_x[/mm] := [mm]\{y\in X: |x-y|<\delta\}[/mm]
> Warum darf ich das, wenn
> ich das darf? Was ist die Metrik auf X? Spricht man einfach
> von einer "Umgebung" ohne Mass?
>
> Die gleichmässige Konvergenz erlaubt es mir nun, ein [mm]N\in \IN[/mm]
> zu wählen, dass [mm]|f_n(x)-f(x)|<\bruch{\epsilon_U}{2} \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N
>
> Was ich auch nicht verstehe:
> Die Stetigkeit von [mm]f_n[/mm] sagt ja, dass wenn y [mm]\in U_x \Rightarrow f_n(y)\in U_f_n[/mm]
> .
>
> Aber um das mit der Defintion (*) zu beweisen, bräuchte
> ich doch die umgekehrte Richtung?
Ist x [mm] \in [/mm] X , so ist f stetig in x [mm] \gdw [/mm] zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es eine Umgebung U von x mit:
(*) |f(z)-f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] U.
Sei also [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Wie kommt man zu einer Umgebung U von x mit der Eigenschaft (*) ?
So: für z [mm] \in [/mm] X ist
|f(z)-f(x)|= [mm] |f(z)-f_n(z)+f_n(z)-f_n(x)+f_n(x)-f(x)| \le |f(z)-f_n(z)|+|f_n(z)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|.
[/mm]
Jetzt mach Du mal weiter.
FRED
>
> ?
> Grüsse
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[mm] f_n [/mm] geht gegen f gleichmässig das heisst
[mm] \exists N\in \IN [/mm] so dass
[mm] |f_n(x)-f(x)|<\bruch{\epsilon}{3} \forall [/mm] x also insbesondere ist auch
[mm] |f_n(z)-f(z)|<\bruch{\epsilon}{3} [/mm]
[mm] f_n [/mm] stetig in x heisst
[mm] |f_n(x)-f_n(z)|<\bruch{\epsilon}{3} \forall [/mm] z in einer Umgebung von x
Sei also z in einer Umgebung von x. Dann ist:
$|f(z)-f(x)|= [mm] |f(z)-f_n(z)+f_n(z)-f_n(x)+f_n(x)-f(x)| \le [/mm] $
[mm] $|f(z)-f_n(z)|+|f_n(z)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|$
[/mm]
$ < [mm] \bruch{\epsilon}{3} +\bruch{\epsilon}{3} +\bruch{\epsilon}{3} [/mm] $
So geht das?
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 18.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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