Stetigkeit, lipschitz-stetig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f:[0, [mm] \infty[ \to \IR [/mm] gegeben durch f(x) = [mm] \wurzel{x}.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass f stetig ist.
(b) Seien a, b [mm] \in \IR [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] a < b. Man zeige, dass [mm] f|_{[a,b]} [/mm] genau dann Lipschitz-stetig ist, wenn a > 0 gilt. |
Hallo,
ich brauche mal dringend eure Hilfe.
zu (a):
[zu zeigen : [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] : |x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon]
[/mm]
Beweis:
Sei x,y [mm] \in \IR. [/mm] Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Setze [mm] \delta [/mm] := ??? mit |x-y| < [mm] \delta. [/mm] Dann gilt
|f(x) - f(y)| = | [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}| [/mm] = ??? < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Kann mir da mal jemand bei den ??? helfen. Diese fehlen mir nämlich noch.
zu (b):
Diese Aufgabe ist mir nur anschaulich klar, aber leider nicht mathematisch als Beweis. Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.
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Hallo und guten Morgen,
also bei Deinem Loesungsvorschlag ist der Teil (a) nicht so ganz gelungen, schau Dir mal die Bedingung an, die Du als def. der Steigkeit geschrieben hast: Du darfst sicher nicht zuerst ueber x UND y quantifizieren, denn sonst stehen ja |f(x)-f(y)| und |x-y| schon fest,
und wenn Du [mm] \delta [/mm] < |x-y| waehlen wuerdest, haettest Du so Stetigkeit jeder Funktion.
Die Bedingung, die Du nachweisen musst, lautet:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \:\forall\epsilon >0\:\exists \delta [/mm] >0 [mm] \: \forall y\: (|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon)
[/mm]
Seien also x und [mm] \epsilon [/mm] gegeben, versuchen wir ein [mm] \delta [/mm] mit gewuenschten Eigenschaften zu konstruieren.
Wir wollen ja [mm] \delta [/mm] so waehlen, dass wir dann |f(x)-f(y)| abschaetzen koennen.
Also schreiben wir es mal hin und probieren, damit zu rechnen. Nehmen wir dabei an,
dass beide Werte x,y ungleich 0 sind (den Fall x=0 mit rechtseitiger Stetigkeit kannst Du
gesondert betrachten).
|f(x)-f(y)|= [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{y}| -\frac{|(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}
[/mm]
= [mm] \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\leq \frac{\delta}{2\cdot\sqrt{x-\delta}}
[/mm]
Zu geg. festem x und [mm] \epsilon [/mm] wollen wir also [mm] \delta [/mm] so haben, dass
[mm] \frac{\delta}{2\cdot\sqrt{x-\delta}}\leq \epsilon,
[/mm]
und dies kannst Du nach einer Bedingung fuer [mm] \delta [/mm] in Abh. von x und [mm] \epsilon
[/mm]
aufloesen.
Du siehst hier auch schon das Problem der Lipschitz-Stetigkeit bei x=0: Wenn [mm] x\to [/mm] 0, musst Du in Abh. von x weiterrechnen, wenn Du aber ein Intervall [a,b] mit a>0 hast,
kannst Du [mm] \frac{1}{\sqrt{x-\delta}} [/mm] durch etwas in termen von a abschaetzen, was nicht
beliebig gross werden kann.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Do 19.01.2006 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo,
ich bin neu hier und freu mich endlich Mitglied hier im MatheRaum zu sein. Auf eine gute Zusammenarbeit!
Also. Das Problem mit der Wurzelfunktion und der Stetigkeit bekann und ich habe allerdings nur so für mich gemacht und ich dachte, dass wenn ich [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon^2 [/mm] setze, dass das sinnvoll wäre, nun bin ich mir nach diesem Post nicht mehr sicher.
Und ich hoffe, dass mir mal jemand eine Verbesserung schicken kann, oder mir einfach bestätigt, dass ich recht habe mit meinen Ausführungen.
Vielen Dank.
Um baldige Antwort wird gebeten! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo epsilon1!
Das ist sicher falsch.
Nehmen wir mal an wir haben [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt und setzen [mm] $\delta:= \varepsilon^2$.
[/mm]
Dann können wir sicher $x,y [mm] \in [/mm] (0,1)$ so finden, dass
$|x-y| = [mm] \frac{\varepsilon^2}{2}< \varepsilon^2 [/mm] = [mm] \delta$
[/mm]
und
[mm] $|\sqrt{x} [/mm] + [mm] \sqrt{y}| [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{4}$.
[/mm]
Dann aber gilt:
[mm] $|\sqrt{x} [/mm] - [mm] \sqrt{y}| [/mm] = [mm] \frac{|x-y|}{|\sqrt{x} + \sqrt{y}|} [/mm] = 2 [mm] \varepsilon>\varepsilon$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Do 19.01.2006 | | Autor: | epsilon1 |
Danke für deine schnelle Antwort.
Da könntest du sogar recht haben. Dann ist da ein Fehler in meiner Berechnung.
Kann mir denn vielleicht trotzdem jemand sagen, wie ich denn [mm] \delta [/mm] zu wählen haben.
Das interessiert mich denn jetzt wirklich brennend!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Mathias hat doch eine Ungleichung für [mm] $\delta$ [/mm] hergeleitet:
[mm] $\frac{\delta}{2 \sqrt{x- \delta}} \le \varepsilon$.
[/mm]
Durch Quadrieren erhält man die folgende quadratische Ungleichung in [mm] $\delta$:
[/mm]
[mm] $\delta^2 [/mm] + 4 [mm] \varepsilon^2 \delta [/mm] - 4 [mm] \varepsilon^2x \le [/mm] 0$.
Für $x [mm] \le [/mm] 1$ ist diese in jedem Fall lösbar, wie man sich anhand der Diskriminante klarmacht (die linke Seite beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit nicht-negativer Diskriminante).
Jetzt kann man, wenn man es denn möchte, mit $p$-$q$-Formeln und ähnlichem ein konkrets [mm] $\delta$ [/mm] angeben. Man kann aber auch einfach, wie gerade geschehen, dessen Existenz nachweisen.
Liebe Grüße
Julius
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Hat nun einer Verstanden wie das konkrett in Aufgabe (b) gerechnet wird?
Ich meine es ist logisch. Die Steigung beträgt im Punkt 0 unendlich,. also gibt es keine konstante C, die für die Lipschitz-stetigkeit gebraucht wird.
Aber wie schreibe ich das in Formel auf?
Kann das vielleicht jemand für mich übernehmen? ;)
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Hallo haeufungspunkt_epsilon,
Da kannst Du einen Widerspruchsbeweis machen.
Nimm an es gäbe solch eine Konstante und zeige das es eine Umgebung von 0 gibt in der diese es nicht mehr tut.
viele grüße
mathemaduenn
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