Stetigkeit, linker rechter GW < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 14.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | | Seien f : (a,b) [mm] \rightarrow \IR [/mm] und [mm] \gamma \in [/mm] (a,b) gegeben. Zeigen Sie, dass f genau dann stetig in [mm] \gamma [/mm] ist, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{+}} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{-}} [/mm] f(x) existieren und mit [mm] f(\gamma) [/mm] übereinstimmen. |
Hallo Ihr.
Ich habe 2 Richtungen zu zeigen
" [mm] \Rightarrow [/mm] "
sei f stetig in [mm] \gamma
[/mm]
[mm] x_n \rightarrow \gamma \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(\gamma)
[/mm]
also ist der [mm] GW=\gamma [/mm] somit wäre das gezeigt, wie geht die Rückrichtung???
Danke für eure Hilfe
tchüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Fr 15.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo Angela.
Danke für deine Antwort, habe aber mal eine andere Idee
[mm] "\Rightarrow" [/mm]
sei f stetig in [mm] \gamma
[/mm]
Sei [mm] \epsilon=\br{1}{n}>0 [/mm] für [mm] n\rightarrow \infty
[/mm]
also auch stetig in [mm] U:=(\gamma-\epsilon,\gamma+\epsilon)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=\gamma+\br{\epsilon}{2} \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_-}=\gamma-\br{\epsilon}{2} \in [/mm] U
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}=f(\gamma)
[/mm]
links und rechtsseitiger GW an der Stelle [mm] \gamma [/mm] = [mm] f(\gamma)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig in [mm] \gamma
[/mm]
Was hältst du davon???
Was meintest du mit deiner Lösung???
Danke für deine Hilfe und ein ruhiges Wochenende.
Tschüß sagt Röby
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> Was meintest du mit deiner Lösung???
Genau das frage ich mich inzwischen auch...
Das war zwischen überflüssig und sinnlos, ich mach's weg.
> habe aber mal eine andere Idee
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> sei f stetig in [mm]\gamma[/mm]
>
> Sei [mm]\epsilon=\br{1}{n}>0[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
>
> also auch stetig in [mm]U:=(\gamma-\epsilon,\gamma+\epsilon)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=\gamma+\br{\epsilon}{2} \in[/mm]
> U
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_-}=\gamma-\br{\epsilon}{2} \in[/mm]
> U
>
Nee Du, das ist ziemlich vermurkst. Ich sehe nicht, was Du damit zeigen willst. Du wolltest wohl irgendwas mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] machen.
AmEnde müßte jedenfalls $ [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{+}} [/mm] $ f(x)=$ [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{-}} [/mm] $ f(x) = [mm] f(\gamma) [/mm] herauskommen, und das ist auch nicht der Fall.
Deine erste Idee führt eher zum Ziel:
>" $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ "
>sei f stetig in $ [mm] \gamma [/mm] $
>$ [mm] x_n \rightarrow \gamma \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(\gamma) [/mm] $
>also ist der $ [mm] GW=\gamma [/mm] $ somit wäre das gezeigt.
Allerdings muß das ganze noch etwas präzisiert werden...
Sei f stetig in [mm] \gamma.
[/mm]
Dann ist [mm] \limes_{x \rightarrow \gamma}f(x)=???
[/mm]
D.h. für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] aus (a,b) mit [mm] x_n \to \gamma [/mm] gilt [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}f(x_n)=???
[/mm]
Insbesondere gilt das für jede Folge "von rechts" bzw. "von links", und somit ist ...
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm]
>
> links und rechtsseitiger GW an der Stelle [mm]\gamma[/mm] =
> [mm]f(\gamma)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig in [mm]\gamma[/mm]
>
> Was hältst du davon???
Insofern viel, als daß Du aufgeschrieben hast, was zu beweisen ist. Bewiesen hast Du allerdings nichts.
Sei [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm] x_n \to \gamma.
[/mm]
Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten durch [mm] \gamma [/mm] beschränkt werden:
[mm] x_n^+=max\{x_n, \gamma\}
[/mm]
[mm] x_n^-=min\{x_n, \gamma\}
[/mm]
Beide Folgen konvergieren gegen [mm] \gamma. [/mm] (Warum?)
Nach Voraussetzung ist also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-)
[/mm]
d.h. für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] N_0, [/mm] so daß für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt:
... [mm] <\varepsilon [/mm] und [mm] ...<\varepsilon.
[/mm]
Beh.: [mm] f(x_n) \to f(\gamma)
[/mm]
Betrachte hierfür [mm] |f(x_n)-f(\gamma)|
[/mm]
Wenn nun jede dieser Folgen gegen [mm] f(\gamma) [/mm] konvergiert, so ist [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma}= [/mm] ???
und somit f stetig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Fr 15.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo Angela.
Die "Hinrichtung" passt jetzt, hier komme ich auch mit, bis zur letzten Zeile
> Insofern viel, als daß Du aufgeschrieben hast, was zu
> beweisen ist. Bewiesen hast Du allerdings nichts.
>
> Sei
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n \to \gamma.[/mm]
>
> Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
>
> [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
> [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>
> Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
>
> Nach Voraussetzung ist also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-)[/mm]
>
> d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]N_0,[/mm] so daß für
> alle [mm]n>N_0[/mm] gilt:
> ... [mm]<\varepsilon[/mm] und [mm]...<\varepsilon.[/mm]
[mm]|x_n^+-\gamma|<\varepsilon[/mm] und [mm]|x_n^--\gamma|<\varepsilon.[/mm]
> Beh.: [mm]f(x_n) \to f(\gamma)[/mm]
> Betrachte hierfür
> [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]
>
> Wenn nun jede dieser Folgen gegen [mm]f(\gamma)[/mm] konvergiert, so
> ist [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}=[/mm] ???
konvergiert auch [mm] f(x_n) [/mm] gegen [mm] f(\gamma)
[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(y)[/mm]
also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(\gamma)[/mm]
> und somit f stetig.
>
> Gruß v. Angela
SO und jetzt müsste es doch passen oder???
Danke, tschüüß und noch einen schönen Abend
Röby
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>
> > Sei
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].
> >
> > Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n \to \gamma.[/mm]
> >
> > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
> >
> > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
> > [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
> >
> > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung "greift"?
> >
> > Nach Voraussetzung ist also
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-)[/mm]
> >
> > d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]N_0,[/mm] so daß für
> > alle [mm]n>N_0[/mm] gilt:
> [mm]|x_n^+-\gamma|<\varepsilon[/mm] und
> [mm]|x_n^--\gamma|<\varepsilon.[/mm]
>
>
> > Beh.: [mm]f(x_n) \to f(\gamma)[/mm]
> > Betrachte hierfür
> > [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]
Du hast es noch nicht betrachtet... (Ich hatte das als Aufforderung gemeint!)
> >
> > Wenn nun jede dieser Folgen gegen [mm]f(\gamma)[/mm] konvergiert, so
> > ist
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(y)[/mm]
>
>
> > und somit f stetig.
> SO und jetzt müsste es doch passen oder???
Wie Du siehst: nahezu.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo Angela.
> > > Sei
> > >
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].
> > >
> > > Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n \to \gamma.[/mm]
> > >
>
> > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
> > >
> > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
> > > [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>
> > >
> > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
>
> Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
> Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> "greift"?
also [mm] x_n^+ [/mm] ist nach unten durch [mm] \gamma [/mm] beschränkt, da [mm] x_n^+ [/mm] immer mindestens den Wert [mm] \gamma [/mm] annimmt, außer [mm] x_n [/mm] ist größer [mm] \Rightarrow x_n^+\ge\gamma
[/mm]
analog [mm] x_n^- \Rightarrow x_n^-\le\gamma
[/mm]
> > > Nach Voraussetzung ist also
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-)[/mm]
> > >
> > > d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]N_0,[/mm] so daß für
> > > alle [mm]n>N_0[/mm] gilt:
>
>
> > [mm]|x_n^+-\gamma|<\varepsilon[/mm] und
> > [mm]|x_n^--\gamma|<\varepsilon.[/mm]
> >
> >
> > > Beh.: [mm]f(x_n) \to f(\gamma)[/mm]
> > > Betrachte hierfür
> > > [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]
>
> Du hast es noch nicht betrachtet... (Ich hatte das als
> Aufforderung gemeint!)
also es gilt [mm] |f(x_n^+)-f(\gamma)|<\epsilon
[/mm]
und [mm] |f(x_n^-)-f(\gamma)|<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(\gamma)[/mm]
^^Dieser Schluss ist mir klar, aber wie drücke ich das mathematisch am Besten aus???
Dank dir für deine Hilfe.
Tschüß sagt Röby
> >
> > > und somit f stetig.
>
>
> > SO und jetzt müsste es doch passen oder???
>
> Wie Du siehst: nahezu.
>
> Gruß v. Angela
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> > > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
> > > >
> > > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
> > > > [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
> >
> > Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
> > Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> > "greift"?
>
> also [mm]x_n^+[/mm] ist nach unten durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt, da [mm]x_n^+[/mm]
> immer mindestens den Wert [mm]\gamma[/mm] annimmt, außer [mm]x_n[/mm] ist
> größer [mm]\Rightarrow x_n^+\ge\gamma[/mm]
Die Beschränkung der Folge allein sichert Dir keine Konvergenz. Die von [mm] \gamma [/mm] verschiedenen Folgenglieder könnten sich ja wer weiß wie verrückt gebärden.
> > > > Betrachte
> hierfür
> > > > [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]
> >
> > Du hast es noch nicht betrachtet... (Ich hatte das als
> > Aufforderung gemeint!)
>
> also es gilt [mm]|f(x_n^+)-f(\gamma)|<\epsilon[/mm]
> und [mm]|f(x_n^-)-f(\gamma)|<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(\gamma)[/mm]
>
> ^^Dieser Schluss ist mir klar, aber wie drücke ich das
> mathematisch am Besten aus???
Ob's die beste Möglichkeit istm, weiß ich nicht, aber es ist eine Möglichkeit:
Beh.: Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] N_0, [/mm] so daß für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt: [mm] |f(x_n)-f(\gamma)|<\epsilon
[/mm]
Bew.: N.V. ist $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-) [/mm] $
Daher gibt es für [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0, [/mm] so daß für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt
[mm] |f(x_n^+)-f(\gamma)|<\epsilon [/mm] und
[mm] |f(x_n^-)-f(\gamma)|<\epsilon
[/mm]
Nun ist [mm] x_n=x_n^+ [/mm] oder [mm] x_n=x_n^-,
[/mm]
==> [mm] |f(x_n)-f(\gamma)|<\varepsilon.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
> > > > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
> > > > >
> > > > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
> > > > >
> [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
> >
> > >
> > > > >
> > > > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
> > >
> > > Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
> > > Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> > > "greift"?
> >
> > also [mm]x_n^+[/mm] ist nach unten durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt, da [mm]x_n^+[/mm]
> > immer mindestens den Wert [mm]\gamma[/mm] annimmt, außer [mm]x_n[/mm] ist
> > größer [mm]\Rightarrow x_n^+\ge\gamma[/mm]
>
> Die Beschränkung der Folge allein sichert Dir keine
> Konvergenz. Die von [mm]\gamma[/mm] verschiedenen Folgenglieder
> könnten sich ja wer weiß wie verrückt gebärden.
So meine letzt Frage hierzu, warum sie konvergieren,
Beides Sind ja Teilfolgen von [mm] (x_n), [/mm] aber sauber ausgedrückt kann ich die Konvergenz nicht begründen.
Bitte helfe mir noch ein letztes mal.
Ich schätze deine Mühen sehr hoch ein!!!
Tschüß sagt Röby
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> > > > > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > > > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
> > > > > >
> > > > > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
> > > > > >
> > [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
> > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
> > > >
> > > > Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
> > > > Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> > > > "greift"?
> > >
> > > also [mm]x_n^+[/mm] ist nach unten durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt, da [mm]x_n^+[/mm]
> > > immer mindestens den Wert [mm]\gamma[/mm] annimmt, außer [mm]x_n[/mm] ist
> > > größer [mm]\Rightarrow x_n^+\ge\gamma[/mm]
> >
> > Die Beschränkung der Folge allein sichert Dir keine
> > Konvergenz. Die von [mm]\gamma[/mm] verschiedenen Folgenglieder
> > könnten sich ja wer weiß wie verrückt gebärden.
>
>
> So meine letzt Frage hierzu, warum sie konvergieren,
>
> Beides Sind ja Teilfolgen von [mm](x_n),[/mm]
Da ist nicht ganz richtig. In beiden Folgen kommt ja u.U. ständig [mm] \gamma [/mm] vor, was in (x-n) nicht der Fall sein muß.
Aber ich glaube schon, daß Du richtig erfaßt hast, woran es liegt.
[mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen [mm] \gamma.
[/mm]
Also gibt es für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0 [/mm] mit [mm] |x_n-\gamma|<\varepsilon [/mm] für alle n>N.
Wegen [mm] x_n^+=x_n [/mm] oder [mm] x_n^+=\gamma
[/mm]
ist [mm] |x_n-\gamma| [/mm] in jedem Fall [mm] <\varepsilon.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
DANK DIR.
Warst mir echt eine große Hilfe, zu den anderen Thema melde ich mich nochmal.
Alles Gute und noch ein schönes Wochenende
Tschüß sagt Röby
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