Stetigkeit linearer Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Fr 22.04.2005 | | Autor: | phyzard |
Wir hatten in der Vorlesung einen Satz, der besagt, dass für einen linearen Operator des normierten Raumes E in den normierten Raum F folgende Aussagen äquivalent sind:
1) Der Opeartor ist stetig (überall)
2) Der Opeartor ist in einem Punkt stetig
3) Der Opeartor ist beschränkt
Das ist auch alles klar. Nun zu meiner Frage.
Ein linearer Operator muss ja auf Grund der Linearität immer die Null auf die Null abbilden. Nun kann ich mir doch eine Folge [mm] (x_{n}) [/mm] in E suchen, die gegen ein [mm] x_{0} [/mm] konvergiert:
[mm] \parallel x_{n} [/mm] - [mm] x_{0} \parallel \to [/mm] 0
Nun folgt
[mm] \parallel A(x_{n}) [/mm] - [mm] A(x_{0})\parallel [/mm] = [mm] \parallel A(x_{n} [/mm] - [mm] x_{0})\parallel \to \parallel A(0)\parallel [/mm] = 0
Das würde doch bedeuten, dass jeder lineare Operator auf normiertem Raum automatisch stetig ist, was obigen Satz überflüsig machen würde. Wo ist der Fehler?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo phyzard!
> Ein linearer Operator muss ja auf Grund der Linearität
> immer die Null auf die Null abbilden. Nun kann ich mir doch
> eine Folge [mm](x_{n})[/mm] in E suchen, die gegen ein [mm]x_{0}[/mm]
> konvergiert:
>
> [mm]\parallel x_{n}[/mm] - [mm]x_{0} \parallel \to[/mm] 0
>
> Nun folgt
>
> [mm]\parallel A(x_{n})[/mm] - [mm]A(x_{0})\parallel[/mm] = [mm]\parallel A(x_{n}[/mm]
> - [mm]x_{0})\parallel \to \parallel A(0)\parallel[/mm] = 0
Der Schritt
[mm]\parallel A(x_{n} -x_{0})\parallel \to \parallel A(0) \parallel[/mm]
folgt doch gerade aus der Stetigkeit in $0$, denn
$| [mm] \parallel A(x_{n}-x_0) \parallel [/mm] - [mm] \parallel [/mm] A(0) [mm] \parallel [/mm] | [mm] \le \parallel A(x_n-x_0) [/mm] -A(0) [mm] \parallel \to [/mm] 0$ wegen [mm] $x_n-x_0 \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Oder wie willst du das sonst (ohne Stetigkeit) folgern?
Für nicht-stetige lineare Operatoren ist diese Aussage nämlich i.A. falsch.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Fr 22.04.2005 | | Autor: | phyzard |
Jo, hast natürlich Recht. War ein dummer Denkfehler. Aber danke für den netten Kommentar von Einstein, das hat mich gleich wieder aufgemuntert 
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