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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Do 12.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Ich habe hier versucht, eine Aufgabe zu lösen, allerdings bräuchte ich ein kleines bisschen Hilfe dabei, weil ich nicht genau weiß, wie ich es machen soll.
Aufgabe:
Sei (M, [mm] T_{M}) [/mm] ein kompakter topologischer Raum, (N, [mm] T_{N}) [/mm] ein Hausdorffraum und f: M [mm] \to [/mm] N eine stetige Bijektion.
Ich soll nun zeigen, dass [mm] f^{-1} [/mm] stetig ist.
(Hier soll T die Topologie sein.)
Wenn (M, [mm] T_{M}) [/mm] ein kompakter topologischer Raum ist, heißt es doch, dass jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdechung hat.
Da (N, [mm] T_{N}) [/mm] ein Hausdorffraum ist, haben je zwei Punkte x und y, mit x [mm] \not= [/mm] y, disjunkte Umgebungen.
Da f ja eine Bijektion ist, existiert das Inverse [mm] f^{-1}.
[/mm]
Wenn nun [mm] f^{-1} [/mm] stetig sein soll, muss also folgendes gelten:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] N:
[mm] d_{N} [/mm] (x,y) < [mm] \delta \Rightarrow d_{M} (f^{-1} [/mm] (x) - [mm] f^{-1} [/mm] (y)) < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber wie soll ich das genau beweisen? Wie fangen ich an? Ich weiß, dass ich irgendwie das ausnützen muss, dass M kompakt ist und dass (N, [mm] T_{N}) [/mm] ein Hausdorffraum ist, aber ich weiß leider nicht wie.
Bitte helft mir weiter!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Do 12.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo VHN!
Du kannst die Lösung hier nachlesen.
Viel Spaß dabei! 
Wenn du Fragen dazu hast, dann stelle sie bitte dort im Diskussionsstrang.
Viele Grüße
Julius
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