Stetigkeit in x=0 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Fr 11.01.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f: R-{0} [mm] \to [/mm] R [mm] \wedge [/mm] x [mm] \mapsto f(x):=\bruch{1}{x}*(-1+\wurzel{x^{2}+1}). [/mm] Wir betrachten weiter die Funktion [mm] \overline{f(x)}:= \begin{cases} f(x), & \mbox{falls } x \varepsilon D(f) \\ a, & \mbox{falls } x=0 \end{cases} [/mm] .
Definieren Sie a [mm] \varepsilon [/mm] R so, dass [mm] \overline{f(x)} [/mm] stetig in x=0 ist! Ist [mm] \overline{f(x)} [/mm] in x=0 auch differenzierbar? In welchem Zusammenhang stehen f und [mm] \overline{f}? [/mm] |
Hallo,
also ich habe erstmal versucht a zu definieren und den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert für 0 bestimmt. Bin bei beiden auf 0 gekommen und würde also sagen a:=0. Ich hab es so gemacht:
Rechtsseitig:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}f(x) [/mm] mit [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*(-1+\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+1})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+n*\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+1})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\wurzel{1+n^{2}})=0
[/mm]
Kann man das so machen?
Linksseitig habe ich es analog gemacht.
Wie mache ich das mit der Differenzierbarkeit? Was ist denn mit "Zusammenhang" gemeint?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist die Funktion f: R-{0} [mm]\to[/mm] R [mm]\wedge[/mm] x [mm]\mapsto f(x):=\bruch{1}{x}*(-1+\wurzel{x^{2}+1}).[/mm]
> Wir betrachten weiter die Funktion [mm]\overline{f(x)}:= \begin{cases} f(x), & \mbox{falls } x \varepsilon D(f) \\ a, & \mbox{falls } x=0 \end{cases}[/mm]
> .
> Definieren Sie a [mm]\varepsilon[/mm] R so, dass [mm]\overline{f(x)}[/mm]
> stetig in x=0 ist! Ist [mm]\overline{f(x)}[/mm] in x=0 auch
> differenzierbar? In welchem Zusammenhang stehen f und
> [mm]\overline{f}?[/mm]
> Hallo,
>
> also ich habe erstmal versucht a zu definieren und den
> rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert für 0 bestimmt.
> Bin bei beiden auf 0 gekommen und würde also sagen a:=0.
> Ich hab es so gemacht:
>
> Rechtsseitig:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}f(x)[/mm] mit [mm]x=\bruch{1}{n}[/mm] folgt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*(-1+\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+1})[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+n*\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+1})[/mm]
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\wurzel{1+n^{2}})=0[/mm]
>
> Kann man das so machen?
> Linksseitig habe ich es analog gemacht.
Der Grenzwert ist richtig, allerdings hast du zunächst mal nur gezeigt, dass [mm]f(1/n)[/mm] gegen 0 konvergiert. Für die Stetigkeit musst du zeigen, dass [mm]f(a_n)[/mm] für jede Folge [mm]a_n\rightarrow 0[/mm] gegen 0 geht.
Schau mal, was ich gerade eben zu dieser Aufgabe geschrieben habe.
> Wie mache ich das mit der Differenzierbarkeit?
Da must du zeigen, dass der Differenzenquotient [mm] \bruch{1}{h} (f(h) -a ) [/mm] für [mm]h\rightarrow 0[/mm] konvergiert.
> Was ist denn mit "Zusammenhang" gemeint?
Da bin ich mir nicht sicher; ich würde sagen, dass [mm]\overline{f}[/mm] die stetige Fortsetzung von f ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Fr 11.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
also was du mit der Folge [mm] a_{n} [/mm] meinst ist mir nicht ganz klar... Ich habe eine einfache Funktion, die eine Unstätigkeitsstelle bei x=0 hat. Solch eine Stelle kann eine Polstelle, ein Loch oder ein Sprung sein. Daher a der Wert ist, der das Loch "stopft", also aus f eine stetige Funktion macht, weiß ich ja schon, dass er existiert bzw. es sich um ein Loch handelt. Nun brauche ich nur noch den Wert, der ja von rechts und links der Selbe sein muss (, weil Loch). Ich hab jetzt einfach nur wegen der mathematisch schöneren Umformungen statt Limes x --> 0 mit x<0 bzw. x>o für [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] gesetzt und dann halt den Limes [mm] n-->\infty [/mm] bzw. [mm] n-->-\infty [/mm] genommen. Wieso geht das/ reicht das denn nun nicht? Hab das schon immer so gemacht, bin schon ganz verwirrt... Welche Folgen überhaupt, es gibt doch bei reellen Zahlen nur 2 Möglichkeiten sich an 0 anzunähern, oder?
Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Sa 12.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Anne,
wenn du Rainer's Hinweis besser verstehen willst, dann betrachte einmal die Funktion
$f(x) = [mm] \sin \frac{\pi}{x}$
[/mm]
und versuche mit deiner Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] den Grenzwert bei Null zu berechnen.
Dann tue das gleiche mit der Folge [mm] $b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n+0.5}$ [/mm] und vergleiche die Ergebnisse.
LG
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anne,
Du musst halt zeigen, dass für JEDE Folge $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ auch folgt, dass [mm] $\overline{f}(x_n) \to [/mm] a$, wenn [mm] $\overline{f}$ [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] mit einem geeigneten $a$ stetig sein soll. Mit der SPEZIELLEN Folge mit [mm] $y_n=\frac{1}{n}$ [/mm] zeigst Du zum Beispiel schonmal, dass nur $a=0$ in Frage kommen kann, weil hier speziell [mm] $f(y_n) \to [/mm] 0$.
Dann hast Du diesen Schluss also für EINE SPEZIELLE Nullfolge gezeigt, Du musst ihn aber FÜR JEDE Nullfolge zeigen. Rainer hatte das eigentlich schon deutlich geschrieben.
(Übrigens bedarf der Schluss
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\wurzel{1+n^{2}})=0$
[/mm]
einer vernünftigen Begründung über Grenzwertsätze für konvergente Folgen. Das könntest Du zum Beispiel erreichen durch
[mm] $\wurzel{1+n^{2}}-n=(\sqrt{1+n^2}-n)*\frac{\sqrt{1+n^2}+n}{\sqrt{1+n^2}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+n^2}+n}$
[/mm]
Aus der letzten Darstellung erkennt man den Grenzwert 0 bei $n [mm] \to \infty$.)
[/mm]
Was Du bisher gezeigt hast:
Wie bereits mit der Folge [mm] $y_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$ [/mm] gesehen, muss, wenn [mm] $\overline{f}$ [/mm] stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] sein soll, notwendigerweise $a=0$ gelten.
Du hast noch zu zeigen:
Mit der Definition $a:=0$ gilt dann in der Tat, dass [mm] $\overline{f}$ [/mm] stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist.
Dazu ist zu zeigen:
Ist $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] IRGENDEINE Folge mit der Eigenschaft [mm] $x_n \to [/mm] 0$, so muss dies schon implizieren, dass [mm] $\overline{f}(x_n) \to [/mm] 0$.
Anders ausgedrückt
Sind also [mm] $x_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ (wobei wir hier o.E. [mm] $x_n \not=0$ [/mm] für alle $n$ annehmen können), so muss schon folgen, dass [mm] $\overline{f}(x_n) \to [/mm] a=0$.
Seien also [mm] $x_n \not=0$, [/mm] aber mit der Eigenschaft, dass [mm] $x_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Dann gilt:
[mm] $\overline{f}(x_n)=f(x_n)=\frac{1}{x_n}*(-1+\sqrt{x_n^2+1})$.
[/mm]
Und nun musst Du zeigen, dass DIE EIGENSCHAFT, dass [mm] $x_n \to [/mm] 0$ gilt, schon impliziert, dass [mm] $f(x_n) \to [/mm] 0$:
Und wenn Du Dir das anguckst, wird Dir sicherlich folgende Umformung helfen:
[mm] $\frac{1}{x_n}*(-1+\sqrt{x_n^2+1})=\frac{1}{x_n}*(\sqrt{x_n^2+1}-1)*\frac{\sqrt{x_n^2+1}+1}{\sqrt{x_n^2+1}+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x_n}{\sqrt{x_n^2+1}+1}$
[/mm]
Was erkennt man nämlich nun anhand der letzten Darstellung, wogegen [mm] $\overline{f}(x_n)=f(x_n)$ [/mm] strebt?
P.S.:
Mit der Definition $a:=0$ ist dann in der Tat [mm] $\overline{f}$ [/mm] die stetige Fortsetzung von $f$, bzw. mit anderen Worten [mm] $\overline{f}$ [/mm] ist dann stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\overline{f}$ [/mm] auf [mm] $\IR \backslash \{0\}$ [/mm] eingeschränkt ist gerade die Funktion $f$.
(Warum ist $f$ bzw. [mm] $\overline{f}$ [/mm] denn stetig auf [mm] $\IR \backslash \{0\}$?)
[/mm]
P.P.S.:
Wenn die andere Funktion [mm] $\overline{f}$ [/mm] heißen soll, ist's eigentlich falsch, [mm] $\overline{f(x)}$ [/mm] für den Funktionswert der Funktion [mm] $\overline{f}$ [/mm] an der Stelle $x$ zu schreiben, man müßte konsequenterweise [mm] $\overline{f}(x)$ [/mm] schreiben. Deshalb habe ich das auch so notiert.
Kommst Du mit der Differenzierbarkeit klar?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Sa 12.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich habe jetzt das Problem verstanden und probiere das mit der Differenzierbarkeit heute noch aus. Ich schicke dann mal meine Lösung zum kontrollieren, falls jemand dazu Lust hat.
LG Anne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Sa 12.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
also ich hab jetzt erstmal versucht den Differenzenquotienten [mm] \bruch{1}{h}*(f(h)-a) [/mm] etwas umzuformen bevor ich den Grenzwert bilde:
[mm] \bruch{1}{h}*(f(h)-a)=\bruch{\bruch{1}{h}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})-a}{h}
[/mm]
Kann ich nun a:=0 einsetzen? Dann gilt weiter:
[mm] \bruch{\bruch{1}{h}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})}{h}=\bruch{1}{h}*\bruch{1}{h}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{h^{2}}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})=-\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{2}}*\wurzel{h^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}-\bruch{1}{h^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{h^{4}}}{\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}+\bruch{1}{h^{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{h^{4}}}{\bruch{1}{h^{2}}*(\wurzel{h^{2}+1}+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{h^{2}}}{(\wurzel{h^{2}+1}+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{h^{2}*(\wurzel{h^{2}+1}+1)}
[/mm]
Ich hätte jetzt eigentlich [mm] h-->\infty [/mm] ausgerechnet und man hätte durch die Umformungen schön gesehen:
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{1}{h^{2}*(\wurzel{h^{2}+1}+1)}=0=f(h) [/mm] an der Stelle h=0, aber wie Rainer schon ganz oben geschrieben hat muss ich an der Stelle h=0 ja scheinbar den [mm] \limes_{h\rightarrow\{0}} [/mm] berechnen und damit komme ich nicht weiter.
Kann bitte nochmal jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Sa 12.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!> Hallo,
>
> also ich hab jetzt erstmal versucht den
> Differenzenquotienten [mm]\bruch{1}{h}*(f(h)-a)[/mm] etwas
> umzuformen bevor ich den Grenzwert bilde:
>
> [mm]\bruch{1}{h}*(f(h)-a)=\bruch{\bruch{1}{h}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})-a}{h}[/mm]
>
> Kann ich nun a:=0 einsetzen? Dann gilt weiter:
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{h}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})}{h}=\bruch{1}{h}*\bruch{1}{h}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{h^{2}}*(-1+\wurzel{h^{2}+1})=-\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{2}}*\wurzel{h^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}-\bruch{1}{h^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{1}{h^{4}}}{\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}+\bruch{1}{h^{2}}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{1}{h^{4}}}{\bruch{1}{h^{2}}*(\wurzel{h^{2}+1}+1)}[/mm]
> [mm]=\bruch{\bruch{1}{h^{2}}}{(\wurzel{h^{2}+1}+1)}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{h^{2}*(\wurzel{h^{2}+1}+1)}[/mm]
>
> Ich hätte jetzt eigentlich [mm]h-->\infty[/mm] ausgerechnet und man
> hätte durch die Umformungen schön gesehen:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{1}{h^{2}*(\wurzel{h^{2}+1}+1)}=0=f(h)[/mm]
> an der Stelle h=0, aber wie Rainer schon ganz oben
> geschrieben hat muss ich an der Stelle h=0 ja scheinbar den
> [mm]\limes_{h\rightarrow\{0}}[/mm] berechnen und damit komme ich
> nicht weiter.
Ja, für die Ableitung musst du h gegen 0 gehen lassen, so ist die nunmal definiert 
Du hast dich beim Erweitern mit [mm]\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}+\bruch{1}{h^{2}}[/mm] verrechnet, da kommt im Zähler nur [mm]\bruch{1}{h^{2}}[/mm] heraus:
[mm]=\bruch{\bruch{1}{h^{\red{2}}}}{\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}+\bruch{1}{h^{2}}}[/mm]
[mm]=\bruch{\bruch{1}{h^{\red{2}}}}{\bruch{1}{h^{2}}*(\wurzel{h^{2}+1}+1)}[/mm] [mm]=\bruch{\red{1}}{(\wurzel{h^{2}+1}+1)} \mathop{\longrightarrow}\limits_{h\rightarrow0} \bruch{1}{2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 12.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich sehe da den Fehler nicht bei mir steht da
[mm] \bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}-\bruch{1}{h^{2}}=\bruch{1}{h^{4}}
[/mm]
Wo ist da der Fehler?
Wenn der Grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, dann existiert er und somit ist die Funktion an der Stelle h=x=0 differenzierbar.
Das reicht als Begründung schon aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Sa 12.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich sehe da den Fehler nicht bei mir steht da
>
> [mm]\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}-\bruch{1}{h^{2}}=\bruch{1}{h^{4}}[/mm]
>
> Wo ist da der Fehler?
Das stimmt so schon nicht, denn
[mm] \left(\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}-\bruch{1}{h^{2}}\right) \left(\wurzel{\bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}}+\bruch{1}{h^{2}}\right) = \bruch{1}{h^{2}}+\bruch{1}{h^{4}}-\left(\bruch{1}{h^{2}}\right)^{\red{2}}[/mm]
> Wenn der Grenzwert [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist, dann existiert er und
> somit ist die Funktion an der Stelle h=x=0
> differenzierbar.
>
> Das reicht als Begründung schon aus?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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Also ich habe auch den Grenzwert 1/2 ermittelt. Aber wenn ich nun die funktion f (nich [mm] \overline{f} [/mm] , weiß net, ob das überhaupt geht wegen der fallunterscheidung?) ableite und dann die 0 einsetze, erhalte ich einen unbestimmten ausdruck, also keinen wert und somit auch nicht 1/2.
Warum ist sie dann trotzdem differenzierbar in x=0? Habe hier noch verständnisprobleme.
Vielen Dank, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Sa 12.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich habe auch den Grenzwert 1/2 ermittelt. Aber wenn
> ich nun die funktion f (nich [mm]\overline{f}[/mm] , weiß net, ob
> das überhaupt geht wegen der fallunterscheidung?) ableite
> und dann die 0 einsetze, erhalte ich einen unbestimmten
> ausdruck, also keinen wert und somit auch nicht 1/2.
> Warum ist sie dann trotzdem differenzierbar in x=0? Habe
> hier noch verständnisprobleme.
Die Funktion f ist an der Stelle 0 gar nicht definiert, der Wert 0 ist explizit aus dem Definitionsbereich ausgenommen. Daher kannst du auch gar nicht von der Differenzierbarkeit an dieser Stelle sprechen. Und wie du selbst gesehen hast, bekommst du auch erst einmal nix Sinnvolles heraus.
Für die Funktion [mm]\overline{f}[/mm] kannst die Differenzierbarkeit untersuchen und bekommst 1/2 heraus. (In der Aufgabe ist nur von der Differenzierbarkeit der Funktion [mm]\overline{f}[/mm] die Rede.)
Was du allerdings tun kannst, ist für f'(x) (die überall außer bei x=0 definiert ist) den Grenzwert für [mm]x\rightarrow0[/mm] anzuschauen:
[mm]f'(x) = \bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} - \bruch{\wurzel{x^2+1}-1}{x^2}
= \bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} - \bruch{(\wurzel{x^2+1}-1)(\wurzel{x^2+1}+1)}{x^2(\wurzel{x^2+1}+1)}
= \bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} - \bruch{ x^2}{x^2(\wurzel{x^2+1}+1)} \mathop{\longrightarrow}\limits_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{2}[/mm]
Das passt also zusammen. Wenn du dir die Funktion f(x) aufzeichnest, siehst du, dass es sich um eine glatte Kurve handelt. Daher kann man den fehlenden Punkt hinzunehmen und hat die überall definierte und differenzierbare Funktion [mm]\overline{f}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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