Stetigkeit in topologischen R. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Sa 09.02.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Definition der Stetigkeit in topologischen Räumen:
Seien X,Y topologische Räume.Eine Abbildung f:X->Y ist stetig wenn jede offene Menge [mm] V\subset [/mm] Y das Urbild [mm] f^{-1} [/mm] (V) [mm] \subset [/mm] X offen ist.
Stetigkeit an einer Stelle:
Die Abbildung f: X->Y (wobei das topologische Räume sind) ist stetig im Punkt x [mm] \in [/mm] X <=> wenn [mm] \forall [/mm] Umgebungen V von f(x) eine Umgebung U von x existiert s.d. f(U) [mm] \subset [/mm] V
Nun hab ich mich gefragt warum gilt:
Wenn f:X->Y stetig bez der ersten Def ist <=> f stetig am Punkt x [mm] \in [/mm] X [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X bez zweite Definition. |
f stetig am Punkt x [mm] \in [/mm] X [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X bez zweite Definition. => f folgenstetig(Beweis in Vo Analysis 2) => f stetig im sinne [mm] \epsilon- \delta [/mm] definition (Beweis in Vo Analysis 1)
ZZ .: f:X->Y stetig bez der ersten Def.
Sei U offen, (bzgl. welcher Topologie ??, wenn ich die gewöhnliche Topologie in [mm] \IR [/mm] hab dass ist das ja alles so wie in Grundkurs Analysis)
Nun weiß ich hier nicht so recht weiter.
Bin bez Topologischen Räumen nicht so ganz fundiert, da ich sie nur kurz in Ana 2 hatten. Mich aber für Topologie im nächsten Semester vorbereiten will.
Für die andere Richtung fällt mir bis jetzt gar nichts ein;(
Liebe Grüße
Vlt könnt ihr mein Wirr-Warr im Kopf beseitigen!
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Hallo,
> Definition der Stetigkeit in topologischen Räumen:
> Seien X,Y topologische Räume.Eine Abbildung f:X->Y ist
> stetig wenn jede offene Menge [mm]V\subset[/mm] Y das Urbild [mm]f^{-1}[/mm]
> (V) [mm]\subset[/mm] X offen ist.
>
> Stetigkeit an einer Stelle:
> Die Abbildung f: X->Y (wobei das topologische Räume sind)
> ist stetig im Punkt x [mm]\in[/mm] X <=> wenn [mm]\forall[/mm] Umgebungen V
> von f(x) eine Umgebung U von x existiert s.d. f(U) [mm]\subset[/mm]
> V
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> Nun hab ich mich gefragt warum gilt:
> (1) Wenn f:X->Y stetig bez der ersten Def ist <=> f stetig am
> Punkt x [mm]\in[/mm] X [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X bez zweite Definition. (2)
------
> f stetig am Punkt x [mm]\in[/mm] X [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X bez zweite
> Definition. => f folgenstetig(Beweis in Vo Analysis 2) => f
> stetig im sinne [mm]\epsilon- \delta[/mm] definition (Beweis in Vo
> Analysis 1)
Das kannst du hier nicht benutzen. $X,Y$ sollen doch bei dir nur topologische Räume sein, also hast du nicht mal eine Metrik. Also kannst du so etwas wie Folgenstetigkeit gar nicht definieren.
> ZZ .: f:X->Y stetig bez der ersten Def.
>
> Sei U offen, (bzgl. welcher Topologie ??, wenn ich die
> gewöhnliche Topologie in [mm]\IR[/mm] hab dass ist das ja alles so
> wie in Grundkurs Analysis)
Die Topologie kennst du nicht.
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Gehen wir mal die beiden Richtungen durch:
(1) --> (2):
Sei $f:X [mm] \to [/mm] Y$ stetig bzgl. der ersten Def (d.h. für alle $V [mm] \subset [/mm] Y$ offen ist [mm] $f^{-1}(V) \subset [/mm] X$ offen.).
Sei nun $x [mm] \in [/mm] X$ beliebig. Dann ist $f(x) [mm] \in [/mm] Y$. Sei nun $V$ eine beliebige offene Umgebung von $f(x)$ (insbesondere ist $f(x) [mm] \in [/mm] V$).
Nach der uns zur Verfügung stehenden Definition ist [mm] $f^{-1}(V) \subset [/mm] X$ offen. Außerdem gilt wegen $f(x) [mm] \in [/mm] V$, dass $x [mm] \in f^{-1}(V)$.
[/mm]
Also ist $U = [mm] f^{-1}(V)$ [/mm] eine offene Umgebung von $x$ mit $f(U) = [mm] f(f^{-1}(V)) \subset [/mm] V$.
(2) --> (1):
Nun steht uns die zweite Def. zur Verfügung (d.h. für alle [mm] $x\in [/mm] X$ und für alle offenen Umgebungen $V$ von $f(x)$ existiert eine offene Umgebung U von x mit $f(U) [mm] \subset [/mm] V$).
Sei $V [mm] \subset [/mm] Y$ offen. Zu zeigen ist, dass [mm] $f^{-1}(V) \subset [/mm] X$ offen.
In diesem Beweis muss man ausnutzen, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen wieder offen ist.
Nimm ein beliebiges $x [mm] \in f^{-1}(V)$. [/mm] Dann ist $V$ eine offene Umgebung von $f(x)$. Wir geht es weiter?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 10.02.2013 | | Autor: | sissile |
Vielen dank dafür
> Das kannst du hier nicht benutzen. $ X,Y $ sollen doch bei dir nur topologische Räume sein, also hast du nicht mal eine Metrik. Also kannst du so etwas wie Folgenstetigkeit gar nicht definieren.
Wir hatten jedoch einen Beweis, dass aus f stetig in [mm] x_0 \in [/mm] X folgt dass f Folgenstetig in [mm] x_o [/mm] ist.
Folgenstetigkeit haben wir so defeniert:
f:X->Y (topologische räume) folgenstetig am Punkt [mm] x_0 [/mm] genau dann wenn [mm] \forall (x_n)_{n\in \IN} [/mm] mit [mm] x_n [/mm] -> [mm] x_0 (n->\infty) [/mm] folgt [mm] f(x_n) [/mm] -> [mm] f(x_0) (n->\infty)
[/mm]
> (2) --> (1):
> Nun steht uns die zweite Def. zur Verfügung (d.h. für alle $ [mm] x\in [/mm] X $ und für alle offenen Umgebungen $ V $ von $ f(x) $ existiert eine offene Umgebung U von x mit $ f(U) [mm] \subset [/mm] V $).
> Sei $ V [mm] \subset [/mm] Y $ offen. Zu zeigen ist, dass $ [mm] f^{-1}(V) \subset [/mm] X $ offen.
> In diesem Beweis muss man ausnutzen, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen wieder offen ist.
> Nimm ein beliebiges $ x [mm] \in f^{-1}(V) [/mm] $. Dann ist $ V $ eine offene Umgebung von $ f(x) $. Wir geht es weiter?
nach Vorr.: [mm] \exists [/mm] Umgebung U von x sodass f(U) [mm] \subset [/mm] V
Wie zeigt man in topologischen Räumen das etwas offen ist?Denn hier werden offene Mengen ja defeniert , dass sie abgecshlossen unter Bildung von Vereinigung und unter endlichen durchschnitten sowie [mm] \{\}, [/mm] X [mm] \in [/mm] Topologie ?
LG
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Hallo,
> > Das kannst du hier nicht benutzen. [mm]X,Y[/mm] sollen doch bei dir
> nur topologische Räume sein, also hast du nicht mal eine
> Metrik. Also kannst du so etwas wie Folgenstetigkeit gar
> nicht definieren.
> Wir hatten jedoch einen Beweis, dass aus f stetig in [mm]x_0 \in[/mm]
> X folgt dass f Folgenstetig in [mm]x_o[/mm] ist.
> Folgenstetigkeit haben wir so defeniert:
> f:X->Y (topologische räume) folgenstetig am Punkt [mm]x_0[/mm]
> genau dann wenn [mm]\forall (x_n)_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]x_n[/mm] -> [mm]x_0 (n->\infty)[/mm]
> folgt [mm]f(x_n)[/mm] -> [mm]f(x_0) (n->\infty)[/mm]
Ja sorry,
ich hatte vergessen, dass es möglich ist, Folgenstetigkeit auch auf topologischen Räumen zu definieren. Fakt ist jedoch, dass du dies für den Beweis nicht brauchst.
> > (2) --> (1):
>
> > Nun steht uns die zweite Def. zur Verfügung (d.h. für
> alle [mm]x\in X[/mm] und für alle offenen Umgebungen [mm]V[/mm] von [mm]f(x)[/mm]
> existiert eine offene Umgebung U von x mit [mm]f(U) \subset V [/mm]).
>
> > Sei [mm]V \subset Y[/mm] offen. Zu zeigen ist, dass [mm]f^{-1}(V) \subset X[/mm]
> offen.
>
> > In diesem Beweis muss man ausnutzen, dass die Vereinigung
> beliebig vieler offener Mengen wieder offen ist.
>
> > Nimm ein beliebiges [mm]x \in f^{-1}(V) [/mm]. Dann ist [mm]V[/mm] eine
> offene Umgebung von [mm]f(x) [/mm]. Wie geht es weiter?
> nach Vorr.: [mm]\exists[/mm] Umgebung U von x sodass f(U) [mm]\subset[/mm] V
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie zeigt man in topologischen Räumen das etwas offen
> ist?Denn hier werden offene Mengen ja defeniert , dass sie
> abgecshlossen unter Bildung von Vereinigung und unter
> endlichen durchschnitten sowie [mm]\{\},[/mm] X [mm]\in[/mm] Topologie ?
Naja, du hast zunächst eben wirklich nur die Eigenschaften der Topologie, um zu zeigen das etwas offen ist. Also musst du nun [mm] $f^{-1}(V)$ [/mm] z.B. als Vereinigung von offenen Mengen darstellen. Du hast ja oben genügend offene Mengen bekommen:
Du hast nun oben für jedes $x [mm] \in f^{-1}(V)$ [/mm] eine offene Umgebung [mm] $U_x$ [/mm] von $x$ erhalten mit [mm] $f(U_x) \subset [/mm] V$.
Setze nun $U := [mm] \bigcup_{x \in f^{-1}(V)}U_x$.
[/mm]
Dann ist $U$ offen als Vereinigung von offenen Mengen. Gilt [mm] $f^{-1}(V) [/mm] = U$ ?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 10.02.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> Dann ist $ U $ offen als Vereinigung von offenen Mengen. Gilt $ [mm] f^{-1}(V) [/mm] = U $ ?
[mm] U_x [/mm] ist doch "nur" eine Umgebung von x.
Aber eine Umgebnung muss selbst nicht offen sein!
Wir haben defeniert Umgebung:
U [mm] \subseteq [/mm] X ist eine Umgebnung von x [mm] \in [/mm] X , wenn es eine offene Menge V gibt mit [mm] x\in [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] U.
Hier hat der Prof daraufhingewiesen dass die Umgebungen selbst nicht offen sein müssen!
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Hallo sissile,
> > Dann ist [mm]U[/mm] offen als Vereinigung von offenen Mengen.
> Gilt [mm]f^{-1}(V) = U[/mm] ?
> [mm]U_x[/mm] ist doch "nur" eine Umgebung von x.
> Aber eine Umgebnung muss selbst nicht offen sein!
Da hast du recht.
> Wir haben defeniert Umgebung:
> U [mm]\subseteq[/mm] X ist eine Umgebnung von x [mm]\in[/mm] X , wenn es
> eine offene Menge V gibt mit [mm]x\in[/mm] V [mm]\subseteq[/mm] U.
> Hier hat der Prof daraufhingewiesen dass die Umgebungen
> selbst nicht offen sein müssen!
Dann nimm statt der [mm] $U_x$ [/mm] eben die offenen Mengen [mm] $V_x \subset U_x$, [/mm] die du aus der Def. der Umgebung erhältst.
Viele Grüße,
Stefan
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