Stetigkeit in C < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mi 02.01.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Für x>0 und [mm] z\in\IC [/mm] definieren wir [mm] x^z:=exp(z*logx). [/mm] Als Komposition stetiger Funktionen sind sowohl [mm] \IR_+\ni x\mapsto x^z\in\IC [/mm] (für festes [mm] z\in\IC) [/mm] als auch [mm] \IC\ni z\mapsto x^z\in\IC [/mm] (für festes x>0) stetig. Zeige:
(a) Für alle x>0, [mm] q\in\IQ [/mm] stimmt die obige Definition von [mm] x^q [/mm] mit unsere früheren Definition überein.
(b) Für alle x,y>0, [mm] z,w\in\IC [/mm] und [mm] a\in\IR [/mm] gilt:
[mm] (xy)^z=x^zy^z, x^{z+w}=x^zx^w, (x^a)^z=x^{az}; [/mm] für x>1 und a<b gilt [mm] x^a |
Ich denke Teil (a) werd ich schon irgendwie hinbekommen, hab zwar noch keine konkrete Idee, aber scheint ja nicht so schwer...mit Teil (b) bin ich mir noch unsicher: Muss ich die Definition anwenden, um dann die Gleichungen umzuformen und dann zu beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, selbstverständlich musst Du mit der Definition und dem Wissen, welches Du von der Exponentialfunktion (bzw. dem log(.)) hast, arbeiten, z.B.:
$x,y > 0, z [mm] \in \IC$, [/mm] dann gilt:
[mm] $(x*y)^z=exp(z*log(x*y))=exp(z*(log(x)+log(y))=exp(z*log(x)+z*log(y))=exp(z*log(x))*exp(z*log(y))=x^z *y^z$
[/mm]
Dabei wurden zwei Sachen, die ihr hoffentlich schon bewiesen habt, benutzt:
1.) Für $z,w [mm] \in \IC$ [/mm] gilt $exp(z+w)=exp(z)*exp(w)$
sowie
2.) Für $x,y > 0$ gilt $log(x*y)=log(x)+log(y)$
Ggf. musst Du halt nachschauen, welche Dinge Du brauchst, und wenn ihr sie noch nicht bewiesen habt, selbst als kleinen Hilfssatz beweisen. Aber im großen und ganzen sollte Euch genügend *Werkzeug* zur Verfügung stehen, hoffe ich.
Und auch mal kurz zu
Für $x > 1$ und $a < b$ gilt [mm] $x^a [/mm] < [mm] x^b$:
[/mm]
Hier gilt $b-a > 0$ und $log(x) > 0$, also folgt (strenge Monotonie von $exp(.)$):
[mm] $x^{b-a}=exp((b-a)*log(x)) [/mm] > exp(0*log(x))=exp(0)=1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] ...
Gruß,
Marcel
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