Stetigkeit im normierten Raum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:13 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
Ich hab ein paar Fragen zur folgenden Aufgabe und hab auch schon versucht, diese Aufgabe seöbst zu lösen. Bin mir aber wie immer nicht sicher, ob das was ich da mache, richtig ist. Daher bitte ich um Verbesserung.
Aufgabe: Sei (V, [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel) [/mm] ein normierter Raum. Zu zeigen ist, dass die Abbildungen +: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y
und *: [mm] \IR \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V, [mm] (\alpha,y) \mapsto \alpha [/mm] * y sind stetig, wobei V [mm] \times [/mm] V und [mm] \IR \times [/mm] V mit der von (V, [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel) [/mm] bzw. ( [mm] \IR, [/mm] | . |) induzierten Produktmetrik versehen ist.
Meine Lösung:
Zuerst hab ich versucht, zu zeigen, dass die + Abbildung stetig ist.
Def von Stetigkeit [mm] \forall [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] (x',y') [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] V: [mm] \parallel [/mm] (x,y) - (x',y') [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \parallel [/mm] +(x,y) - +(x',y') [mm] \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Beweis: Seien (x,y) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] V und [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{ \varepsilon}{2}
[/mm]
Sei (x',y') [mm] \in [/mm] V mit [mm] \parallel [/mm] (x,y) - (x',y') [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta, [/mm] d.h. [mm] \parallel [/mm] x-x' [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta [/mm] und [mm] \parallel [/mm] y-y' [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Dann gilt: [mm] \parallel [/mm] +(x,y) - +(x',y') [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] (x+y) - (x'+y') [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] (x-x') + (y'-y) [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x-x' [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y'-y [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta [/mm] = [mm] 2\delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Also ist + stetig. Stimmt das so???
Bei der * Abbildung komm ich nicht so klar.
Da hab ich auch zuerst die Def von Stetigkeit hingeschrieben und hab versucht, die Quantoren von links nach rechts abzuarbeiten.
[mm] \forall(\alpha,y) \in \IR \times [/mm] V [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall (\alpha',y') \in \IR \times [/mm] V: [mm] \parallel (\alpha,y) [/mm] - [mm] (\alpha',y') \parallel [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \parallel *(\alpha,y) [/mm] - [mm] *(\alpha',y') \parallel [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Beweis: Seien [mm] (\alpha,y) \in \IR \times [/mm] V und [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Hier weiß ich nicht, wie ich das [mm] \delta [/mm] zu wählen hab.
Außerdem komm ich nach diesem Schritt nicht mehr weiter:
[mm] \parallel *(\alpha,y) [/mm] - [mm] *(\alpha',y') \parallel [/mm] = [mm] \parallel \alphay [/mm] - [mm] \alpha'y' \parallel=...... [/mm] Wie soll ich jetzt weiter machen? Hier kann ich das ja nicht so machen wie bei der + Abb.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. Das wäre echt nett.
Danke vielmals. Wenn was falsch ist, bitte ich um Verbesserung.
Moe007
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