Stetigkeit im R^n < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f:\IR²\ \vektor{0 \\ 0} \to \IR, \vektor{x \\ y},
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y} \to \bruch{x^{2}}{\wurzel{x²+y²}} [/mm]
Untersuchen Sie, ob f stetig auf ganz [mm] \IR² [/mm] fortgesetzt werden kann. |
Hallo,
das ist meine erste Frage hier im Forum. Ich hoffe, ich habe sämtliche Regeln beachtet.
Nun zu meiner Frage. Ich habe irgendwie immer wieder Probleme Stetigkeit im
[mm] \IR^n [/mm] nachzuweisen. Wie ich Stetigkeit wiederlegen kann ist kein Problem.
In der Lösung zur obigen Aufgabe wurde folgende Ungleichung benutzt.
[mm] \bruch{x^{2}}{\wurzel{x²+y²}} \le [/mm] |x|
Das diese Ungleichung stimmt ist mir klar, allerdings warum ich sie benutze überhaupt nicht. Leider bin ich zu keinem eigenen Lösungsansatz gekommen, da es sich hier um ein allgemeines Verständnisproblem handelt. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und bedanke mich schon einmal .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Christian und erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]f:\IR²\setminus \left\{ \vektor{0 \\ 0}\right\} \to \IR, \vektor{x \\ y},[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{x^{2}}{\wurzel{x²+y²}}[/mm]
>
> Untersuchen Sie, ob f stetig auf ganz [mm]\IR²[/mm] fortgesetzt
> werden kann.
> Hallo,
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> das ist meine erste Frage hier im Forum. Ich hoffe, ich
> habe sämtliche Regeln beachtet.
>
> Nun zu meiner Frage. Ich habe irgendwie immer wieder
> Probleme Stetigkeit im
> [mm]\IR^n[/mm] nachzuweisen. Wie ich Stetigkeit wiederlegen kann
> ist kein Problem.
>
> In der Lösung zur obigen Aufgabe wurde folgende Ungleichung
> benutzt.
>
> [mm]\bruch{x^{2}}{\wurzel{x²+y²}} \le[/mm] |x|
>
> Das diese Ungleichung stimmt ist mir klar, allerdings warum
> ich sie benutze überhaupt nicht.
Nun, zuerst einmal ist ja der einzig kritische Punkt, in dem die Funktion unstetig sein könnte, der Punkt [mm] $\vektor{x_0\\y_0}=\vektor{0\\0}$, [/mm] da sie ansonsten als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig ist
Wenn du dir die Abbildungsvorschrift mal in Polarkoordinaten hinschreibst, also [mm] $x=r\cdot{}\cos(\phi)$, $y=r\cdot{}\sin(\phi)$, [/mm] wobei $r$ die Länge des Vektors $(x,y)$ ist und [mm] $\phi$ [/mm] der Winkel, den $(x,y)$ mit der x-Achse einschließt, dann siehst du direkt, dass die einzig sinnvolle Weise, f in [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] stetig fortzusetzen, ist, zu definieren [mm] $f\vektor{0\\0}:=0$
[/mm]
Schreibe dir doch mal das [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] der Stetigkeit auf, dann siehst du sofort, warum die obige Abschätzung dich sofort zum Ziel führt
f ist stetig in [mm] $\vektor{x_0\\y_0}=\vektor{0\\0}$, [/mm] falls [mm] $\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall (x,y)\in\IR^2: \left|\left|\vektor{x\\y}-\vektor{0\\0}\right|\right|<\delta \Rightarrow \left|\left|f\vektor{x\\y}-f\vektor{0\\0}\right|\right|<\varepsilon$
[/mm]
Also: [mm] $\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall (x,y)\in\IR^2: \left|\left|\vektor{x\\y}\right|\right|<\delta \Rightarrow \left|\left|f\vektor{x\\y}\right|\right|<\varepsilon$
[/mm]
Jetzt ist mit der obigen Abschätzung das [mm] $\left|\left|f\vektor{x\\y}\right|\right|$ [/mm] so "nett" abgeschätzt worden, dass das Auffinden des [mm] $\delta$ [/mm] doch kein Problem mehr darstellen sollte
> Leider bin ich zu keinem
> eigenen Lösungsansatz gekommen, da es sich hier um ein
> allgemeines Verständnisproblem handelt. Ich hoffe ihr könnt
> mir helfen und bedanke mich schon einmal .
Ein alternativer Weg, der dir jegliche Abschätzung erspart, ist, alles in Polarkoordinaten zu schreiben und dann [mm] $r\downarrow [/mm] 0$ gehen zu lassen.
Wenn das unabhängig vom Winkel [mm] $\phi$ [/mm] den GW 0 [mm] ($=f\vektor{0\\0}$) [/mm] ergibt, hast du gewonnen 
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Hi,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Das mit den Polarkoordinaten habe ich auch schon gelesesen und eigentlich auch verstanden. Kann ich das immer machen mit den Polarkoordinaten. Ich habe gelesen Polarkoordinaten benutzt man als Nachweis, wenn der kritische Punkt [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist und x²+y² vorkommt.
Also kann ich den Nachweis mit Polarkoordinaten immer verwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 03.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst die Polarkoordinaten immer benutzen, wenn du zeigen kannst, dass für r gegen 0 die funktion gegen den funktionswert konvergiert, unabhängig vom Winkel! dazu muss nicht unbedingt [mm] x^2+y^2 [/mm] vorkommen
wenn es nicht der Nullpkt ist, um den es geht, sondern (x0,y0) nimmst du eben Polarkoordinaten um den Punkt, also x-x0=rcost usw.
zu deiner zweiten Frage mit dem Betrag von x:
Du musst doch eine [mm] \delta [/mm] Umgebung von 0 angeben, so dass du zu jedem [mm] \epsolon>0 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] angeben kannst, so dass [mm] |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon [/mm] ist.
eine [mm] \delta [/mm] Umgebung von 0 hast du mit [mm] \wurzel{x^2+y^2}<\delta.
[/mm]
jetzt gilt [mm] |x|<\wurzel{x^2+y^2} [/mm] d.h. wenn [mm] \wurzel{x^2+y^2}<\delta [/mm] ist, dann auch |x|
und du hast gezeigt, dass |f(x,y)-f(0,0)|<|x| also kannst du [mm] \delta=\epsilon [/mm] wählen und hast [mm] |f(x,y)-f(0,0)|<|x|<\wurzel{x^2+y^2}<\delta=\epsilon
[/mm]
Das wäre die Vervollständigung des Beweises. aber weil es sooo klar ist dass wenn [mm] \wurzel{x^2+y^2}<\delta [/mm] auch [mm] |x|<\delta [/mm] schreibt man das meist nicht dazu.
Gruss leduart
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Vielleicht geht es ja auch ohne Polarkoordinaten. Seien [mm] $(x_n)$ [/mm] und [mm] $(y_n)$ [/mm] zwei beliebige Folgen mit [mm] $x_n\to [/mm] 0$ und [mm] $y_n\to [/mm] 0$. Dann gilt
[mm] $\frac{x_n^2}{\sqrt{x^2_n+y^2_n}}\leq |x_n|\to [/mm] 0$.
Fertig
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Ja ok. So wurde es in der Lösung die ich vorliegen hab auch gemacht.
Aber 100% verstehe ich es leider immer noch nicht. Wo genau kommt dieses kleiner bzw. größer gleich her. Das muss sich doch auf einen Satz beziehen?
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[mm] $\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{x^2}{\sqrt{x^2}}=\sqrt{\frac{x^4}{x^2}}=\sqrt{x^2}=|x|$.
[/mm]
OK: Wieso diese Ungleichung: Klar sollte dir sein, dass
[mm] $\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{x^2}$, [/mm] oder?
Dann folgt daraus
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{1}{\sqrt{x^2}}.$
[/mm]
Wegen [mm] $x^2>0$ [/mm] kann man das mit [mm] $x^2$ [/mm] multiplizieren ohne dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht:
[mm] $\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{x^2}{\sqrt{x^2}}$.
[/mm]
Ein Rezept gibt es für so eine Abschätzung nicht: Einfach ein paar Aufgaben dazu rechnen und schauen, wie f abgeschätzt wird. Eins kann man aber sagen: Man ist immer bestrebt [mm] $f(x,y)\leq x^k$ [/mm] oder [mm] $f(x,y)\leq y^k$ [/mm] oder [mm] $f(x,y)\leq x^k+y^k$ [/mm] oder ähnliches hinzubekommen....
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Das meinte ich nicht (:
Ich wollte wissen warum, wenn diese Ungleichung gilt, meine Funktion im Punkt [mm] \vektor{0\\ 0} [/mm] stetig ist.
Und wie ich genau auf diese Ungleichung komme.
So wie ich das verstehe sucht man etwas größeres als die Ursprungsfunktion. Aber ich kann mir doch da nicht einfach was ausdenken. Ich glaube an der Stelle versagt mein mathematisches Verständnis oder ich denke zu kompliziert.
Danke für die fixen Antorten
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Die Sache ist die: Du musst zeigen, dass f auch stetig in (0,0) ist. Nach der VL nimmst du dazu beliebige Folgen [mm] $x_n\to [/mm] 0$ und [mm] $y_n\to [/mm] 0$ und muss dann zeigen, dass
[mm] $f(x_n,y_n)\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to \infty$.
[/mm]
Um soetwas zu zeigen, bedient man sich oft Abschätzungen, wie die eine, die du hast.
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Achso...
Ich will eigentlich zeigen das meine Funktion gegen 0 geht für n [mm] \to \infty [/mm]
und um das zu zeigen benutze ich diese Abschätzung.
Ich hätte zwar nicht unbedingt gesehen warum man gerade |x| verwendet aber vom Prinzip verstehe ich es jetzt.
Kannst du mir auch noch meine Frage mit den Polarkoordinaten beantworten? Ob ich die immer für den Gegenbeweis verwenden kann?
Wenn der kritische Punkt nicht [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] dürfte es doch nicht gehen oder?
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Um zu zeigen, dass ein f unstetig in (0,0) ist, benutzt man folgende Vorgehensweise. Du schnappst dir jetzt spezielle Folgen [mm] $x_n\to [/mm] 0$ und [mm] $y_n\to [/mm] 0$, etwa [mm] $x_n=1/n$, $y_n=1/n^2$. [/mm] Welche du wählst, hängt von der Funktion ab. Ansonsten muss man eben etwas rumprobieren. Der Clou ist dann, dass [mm] $f(x_n,y_n)\to [/mm] (0,1)$ oder so ist. Und das beweis dann die Unstetigkeit!
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Ok danke für deine Hilfe. Ich glaube ich habe es verstanden.
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