Stetigkeit im Nullpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a.)
Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x,y)=\begin{cases} |\bruch{y}{x^{2}}| e^{-|\bruch{y}{x^{2}}|} , & \mbox{für } x\not=0 \\ \mbox 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
unstetig in (0,0) ist, jedoch die Einschränkung von f auf jede Gerade G durch den Nullpunkt stetig im Nullpunkt ist.
b.)
Ist f außerhalb des Nullpunktes stetig? |
Schönen guten Tag,
ich bin leider etwas am Verzweifeln. Bei a.) probiere ich seit Stunden verschiedene Grenzwerte aufzuzeigen, scheitere aber grandios. Auch beim Ersetzen von y = c x funktioniert nichts. Selbst das Tutorium Analysis 2 liefert keine hilfreichen Tipps. Hoffentlich kann mir hier jemand helfen?
b.) Meiner Meinung nach ja, da ich ja für y [mm] \to [/mm] 0 auch f(x,y) [mm] \to [/mm] 0 erhalte. Ist dies überhaupt ein richtiger Ansatz?
Vielen Dank und liebe Grüße
Athanasius
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 22.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> a.)
> Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} |\bruch{y}{x^{2}}| e^{-|\bruch{y}{x^{2}}|} , & \mbox{für } x\not=0 \\ \mbox 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> unstetig in (0,0) ist, jedoch die Einschränkung von f auf
> jede Gerade G durch den Nullpunkt stetig im Nullpunkt ist.
>
> b.)
> Ist f außerhalb des Nullpunktes stetig?
> Schönen guten Tag,
> ich bin leider etwas am Verzweifeln. Bei a.) probiere ich
> seit Stunden verschiedene Grenzwerte aufzuzeigen, scheitere
> aber grandios.
Berechne mal [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)
[/mm]
> Auch beim Ersetzen von y = c x funktioniert
> nichts. Selbst das Tutorium Analysis 2 liefert keine
> hilfreichen Tipps. Hoffentlich kann mir hier jemand
> helfen?
>
> b.) Meiner Meinung nach ja, da ich ja für y [mm]\to[/mm] 0 auch
> f(x,y) [mm]\to[/mm] 0 erhalte. Ist dies überhaupt ein richtiger
> Ansatz?
Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist f doch Zusammensetzung stetiger Funktionen
FRED
>
> Vielen Dank und liebe Grüße
> Athanasius
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für die schnelle Antwort.
Für [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2) [/mm] ergibt sich ja [mm] \bruch{1}{e}. [/mm] Damit habe ich ja gezeigt, dass für y [mm] \to [/mm] 0 und y = [mm] x^{2} [/mm] zwei verschiedene Grenzwerte existieren. Ist damit die Unstetigkeit genügend gezeigt?
Ist mit der Einschränkung auf f irgendeine beliebige Gerade gemeint, oder stehe ich hier gerade auf dem Schlauch? Ich würde dann einfach (x,y) gegen (0, [mm] y_{0}) [/mm] für f(x,y) laufen lassen, nur dass ich dann ja "durch 0 teile".
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mi 23.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort.
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> Für [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)[/mm] ergibt sich ja
> [mm]\bruch{1}{e}.[/mm] Damit habe ich ja gezeigt, dass für y [mm]\to[/mm] 0
> und y = [mm]x^{2}[/mm] zwei verschiedene Grenzwerte existieren. Ist
> damit die Unstetigkeit genügend gezeigt?
Du solltest schon etwas genauer argumentieren.
Wir haben:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)=\bruch{1}{e}[/mm]
und
[mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(0,y)=0[/mm]
Damit existiert [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,x^2)[/mm] nicht !
Wäre f in (0,0) stetig, so müsste [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,x^2)[/mm] existieren (und =0 sein).
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> Ist mit der Einschränkung auf f irgendeine beliebige
> Gerade gemeint,
Du sollst f auf eine Gerade der Form y=mx einschränken.
> oder stehe ich hier gerade auf dem
> Schlauch?
Sieht so aus.
> Ich würde dann einfach (x,y) gegen (0, [mm]y_{0})[/mm]
> für f(x,y) laufen lassen, nur dass ich dann ja "durch 0
> teile".
Hä ?
Zu zeigen ist: für jedes m [mm] \in \IR [/mm] ist
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,mx)=0[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Mi 23.04.2014 | | Autor: | Athanasius |
Ah, jetzt hat es klick gemacht, vielen Dank!
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