Stetigkeit f(x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Fr 05.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, an welchen Stellen die Funktion f(x) stetig ist.
[mm] f(x)=\begin{cases} 8-x-x^2, & \mbox{für } x\le -2 \\ 2+x^2, & \mbox{für } -2 |
Die Funktion kann doch nur an den "Übergängen" unstetigkeitsstellen haben wenn ich das richtig verstanden habe. Dann muss ich an den Übergängen einfach immer den links- sowie rechtsseitigen Grenzwert prüfen und wenn diese übereinstimmen, dann ist die Funktion dort stetig.
also:
1. Übergang:
$ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow -2\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow -2\downarrow}8-x-x^2 [/mm] \ = \ 6 $
$ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow -2\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow -2\uparrow}2+x^2 [/mm] \ = 6 $
[mm] \limes_{x\rightarrow -2\downarrow}f(x)=\limes_{x\rightarrow -2\uparrow}f(x) \to [/mm] stetig
2. Übergang:
$ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}2+x^2 [/mm] \ = \ 3 $
$ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\uparrow}4x-x^2 [/mm] \ = 3 $
[mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f(x)=\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f(x) \to [/mm] stetig
3. Übergang
$ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 3\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 3\downarrow}4x-x^2 [/mm] \ = \ 3 $
$ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 3\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 3\uparrow}16-8x+x^2 [/mm] \ = 1 $
[mm] \limes_{x\rightarrow 3\downarrow}f(x)\not=\limes_{x\rightarrow 3\uparrow}f(x) \to [/mm] Unstetig
Also besitzt die Funktion lediglich bei x=3 eine (Sprung)Unstetigkeitsstelle.
Ist die Aufgabe so richtig gelöst?
Danke und besten Gruß,
tedd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Die Aufgabe an sich ist korrekt gelöst.
Allerdings sind Deine Pfeilchen bei linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert jeweils falsch herum (durch die Bank).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Fr 05.09.2008 | | Autor: | tedd |
Okay ... 
Danke für's drüberschauen Loddar.
Gruß,
tedd
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