Stetigkeit einer reellen Fkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde die Stetigkeits- und Unstetigkeitsstellen folgender Funktion:
(iii) [mm] \alpha: \IR \to \IR, \alpha(x) [/mm] = [mm] {\lfloor x + \bruch{1}{2}\quad \rfloor} [/mm] |
Hallo, habe eine weitere Funktion auf Stetigkeit untersucht.
Stetigkeit
Vor: [mm] x_0 \in [/mm] (p + 0,5, p + 1,5) p [mm] \in \IZ, x_0 \in \IR
[/mm]
Beh: [mm] \alpha [/mm] ist stetig in [mm] x_0 [/mm]
Bew: Folgenkriterium:
Es gilt [mm] \alpha(x_0) [/mm] = [mm] {\lfloor x_0 + \bruch{1}{2}\quad \rfloor} [/mm] = p + 1
Sei [mm] x_k [/mm] Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] x_k \to x_0, [/mm] k [mm] \to \infty
[/mm]
Da (p+0,5, p+1,5) die Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ist [mm] \Rightarrow \exists k_1 \in \IN [/mm] s.d. für k [mm] \ge k_1, x_k \in [/mm] (p+0,5, p+1,5)
also [mm] \alpha(x_k) [/mm] = [mm] {\lfloor x_k + \bruch{1}{2}\quad \rfloor} [/mm] p + 1
[mm] \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} \alpha(x_k) [/mm] = p + 1
also [mm] x_0 [/mm] stetig [mm] \Box
[/mm]
Unstetigkeit
Vor: [mm] x_0 [/mm] = p - 0,5, p [mm] \in \IZ [/mm] bel.
Beh: [mm] \alpha [/mm] ist unstetig in [mm] x_0
[/mm]
Bew: Folgenkriterium:
es ist [mm] \alpha(x_0) [/mm] = [mm] {\lfloor x_0 + \bruch{1}{2}\quad \rfloor} [/mm] = [mm] {\lfloor p-0,5 + \bruch{1}{2}\quad \rfloor} [/mm] = p
Sei [mm] (x_k) [/mm] Folge Folge in [mm] \IQ [/mm] mit [mm] x_k [/mm] = p -0,5 - [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_k [/mm] = [mm] x_0 [/mm] = p -0,5
Aber [mm] \alpha(x_k) [/mm] = p und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_k [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} {\lfloor x + \bruch{1}{2}\quad \rfloor} [/mm] = p - 1 [mm] \not= [/mm] p = [mm] \alpha(x_0)
[/mm]
also [mm] x_0 [/mm] unstetig [mm] \Box
[/mm]
Wäre wirklich super, wenn sich jmd die Mühe machen würde, da mal drüber zu schauen :)
LG, kullinarisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Finde die Stetigkeits- und Unstetigkeitsstellen folgender
> Funktion:
>
> (iii) [mm]\alpha: \IR \to \IR, \alpha(x)[/mm] = [mm]{\lfloor x + \bruch{1}{2}\quad \rfloor}[/mm]
>
> Hallo, habe eine weitere Funktion auf Stetigkeit
> untersucht.
>
> Stetigkeit
>
> Vor: [mm]x_0 \in[/mm] (p + 0,5, p + 1,5) p [mm]\in \IZ, x_0 \in \IR[/mm]
>
> Beh: [mm]\alpha[/mm] ist stetig in [mm]x_0[/mm]
> Bew: Folgenkriterium:
>
> Es gilt [mm]\alpha(x_0)[/mm] = [mm]{\lfloor x_0 + \bruch{1}{2}\quad \rfloor}[/mm]
> = p + 1
>
> Sei [mm]x_k[/mm] Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]x_k \to x_0,[/mm] k [mm]\to \infty[/mm]
> Da
> (p+0,5, p+1,5) die Umgebung von [mm]x_0[/mm] ist [mm]\Rightarrow \exists k_1 \in \IN[/mm]
> s.d. für k [mm]\ge k_1, x_k \in[/mm] (p+0,5, p+1,5)
> also [mm]\alpha(x_k)[/mm] = [mm]{\lfloor x_k + \bruch{1}{2}\quad \rfloor}[/mm]
> p + 1
> [mm]\Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} \alpha(x_k)[/mm] = p +
> 1
>
> also [mm]x_0[/mm] stetig [mm]\Box[/mm]
>
> Unstetigkeit
>
> Vor: [mm]x_0[/mm] = p - 0,5, p [mm]\in \IZ[/mm] bel.
> Beh: [mm]\alpha[/mm] ist unstetig in [mm]x_0[/mm]
> Bew: Folgenkriterium:
>
> es ist [mm]\alpha(x_0)[/mm] = [mm]{\lfloor x_0 + \bruch{1}{2}\quad \rfloor}[/mm]
> = [mm]{\lfloor p-0,5 + \bruch{1}{2}\quad \rfloor}[/mm] = p
>
> Sei [mm](x_k)[/mm] Folge Folge in [mm]\IQ[/mm] mit [mm]x_k[/mm] = p -0,5 -
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] und [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_k[/mm] = [mm]x_0[/mm] = p
> -0,5
> Aber [mm]\alpha(x_k)[/mm] = p und [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_k[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} {\lfloor x + \bruch{1}{2}\quad \rfloor}[/mm]
> = p - 1 [mm]\not=[/mm] p = [mm]\alpha(x_0)[/mm]
>
> also [mm]x_0[/mm] unstetig [mm]\Box[/mm]
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> Wäre wirklich super, wenn sich jmd die Mühe machen
> würde, da mal drüber zu schauen :)
Sieht gut aus !
FRED
>
> LG, kullinarisch
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Top, danke! :) Habe zwar gerade noch einige Tippfehler entdeckt, aber ich denke man erkennt was gemeint ist.
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