Stetigkeit einer beschr. Fkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 07.07.2008 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Sei f: R--> R eine beschränkte Funktion. Man zeige, dass die Funktion g: R-->R, g(x) = x*f(x), in a=0 stetig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich bin in der Analysis I-Vorlesung und soll diese Hausaufgabe machen.
Mein erstes Problem ist, dass ich mit dem a=0 irgendwie nix anfangen kann....
Und das zweite Problem ist, dass ich ohne einer Funktion irgendwie nie weiß wie ich da eigentlich vorgehen muss...
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Hallo Katrin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei f: R--> R eine beschränkte Funktion. Man zeige, dass
> die Funktion g: R-->R, g(x) = x*f(x), in a=0 stetig ist.
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich bin in der Analysis I-Vorlesung und soll diese
> Hausaufgabe machen.
> Mein erstes Problem ist, dass ich mit dem a=0 irgendwie
> nix anfangen kann....
Naja, $a$ ist die Stelle, an der $g$ vermeintlich stetig sein soll.
Habt ihr die vllt. sonst mit [mm] $x_0$ [/mm] bezeichnet?
Der Beweis ist hier ganz elementar:
Nach Vor. ist $f$ beschränkt, dh. in Formeln [mm] $\exists M\in\IR^+\forall x\in\IR:|f(x)|\le [/mm] M$
Dann verwende ganz geradeheraus das [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] der Stetigkeit:
Zeige, dass [mm] $\forall\varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists\delta>0 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] \ [mm] |x-\underbrace{x_0}_{=a=0}|<\delta: |g(x)-\underbrace{g(x_0)}_{=g(a)=0\cdot{}f(0)=0}|<\varepsilon$
[/mm]
Das reduzuiert sich also auf:
[mm] $\forall\varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists\delta>0 [/mm] \ [mm] \forall |x|<\delta: |g(x)|<\varepsilon$
[/mm]
Schätze also den Betrag $|g(x)|$ ab und konstruiere dir so das gesuchte [mm] $\delta$
[/mm]
Schreibe dir das einfach auf. Wie ist $|g(x)|$ definiert, was wissen wir über f? ...
Geh's mal an....
Die Abschätung
> Und das zweite Problem ist, dass ich ohne einer Funktion
> irgendwie nie weiß wie ich da eigentlich vorgehen muss...
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 08.07.2008 | | Autor: | dupline |
Danke erst einmal für die schnelle Antwort.
Ich hab das jetzt so weit versucht und auch nachvollziehen können.
Jetzt hab ich also [mm] |g(x)|<\varepsilon
[/mm]
und dann kann ich daraus [mm] |x*f(x)|<\varepsilon [/mm] machen
dann würde ich den Betrag auseinander nehmen
[mm] |x|*|f(x)|<\varepsilon [/mm] (wegen Dreiecksungleichung)
und ich weiß dass [mm] |x|<\delta [/mm] ist und f(x) beschränkt..... aber jetzt fehlt mir da noch irgendwie der Zusammenhang, wann das dann bewiesen ist.
(Irgendwie ist das epsilon-delta-Kriterium für mich unbegreiflich.... )
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Hallo!
f(x) beschränkt [mm] \Rightarrow \exists K\in\IN: |f(x)|\le [/mm] K.
D.h., man kann um die Funktion einen "Schlauch" legen, der den Durchmesser K hat. Dabei ist K konstant (Das ist wichtig für deinen Beweis)!
Schätze also den Term mit |f(x)| entsprechend nach oben ab... Dann steht da
|x|*|f(x)| [mm] \le [/mm] |x|*K < [mm] \epsilon
[/mm]
...
Stefan.
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