Stetigkeit einer Funktionsfolg < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 29.05.2012 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie dass [mm] f_{n}=x^{n}-x^{n+1} [/mm] mit fn: [0,1]->[0,1] nicht stetig im Nullpunkt ist |
Um die Stetigkeit zu beweisen, setze ich ja nun einfach
[mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon [/mm] und [mm] |x-0|<\delta
[/mm]
[mm] \gdw |f(x)|<\varepsilon [/mm] und [mm] |x|<\delta
[/mm]
[mm] \gdw |x^{n}-x^{n+1}|<\varepsilon
[/mm]
Da ich die Funktion im Nullpunkt untersuche komme ich doch auf eine wahre Behauptung und somit auf eien Stetigkeit im Nullpunkt, oder nicht?
Liebe Grüße
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Hallo rolo4,
> Zeigen Sie dass [mm]f_{n}=x^{n}-x^{n+1}[/mm] mit fn: [0,1]->[0,1]
> nicht stetig im Nullpunkt ist
>
> Um die Stetigkeit zu beweisen, setze ich ja nun einfach
>
> [mm]|f(x)-f(0)|<\varepsilon[/mm] und [mm]|x-0|<\delta[/mm]
> [mm]\gdw |f(x)|<\varepsilon[/mm] und [mm]|x|<\delta[/mm]
> [mm]\gdw |x^{n}-x^{n+1}|<\varepsilon[/mm]
>
> Da ich die Funktion im Nullpunkt untersuche komme ich doch
> auf eine wahre Behauptung und somit auf eien Stetigkeit im
> Nullpunkt, oder nicht?
>
Betrachte [mm]f_{n}[/mm] für zunächst [mm]x\not=0[/mm].
Bilde dann den Grenzwert
[mm]\limes_{x \to 0}f_{n}[/mm]
Dabei ist eine Fallunterscheidung hinsichtlich n durchzuführen.
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 29.05.2012 | | Autor: | rolo4 |
für n=0 strebt die Funktionsfolge: [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] 1-x = 1
für n>0 [mm] \limes_{x\rightarrow0} x^n-x^{x+1} [/mm] = 0
Also ist [mm] f_n [/mm] nicht stetig in 0 , oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> für n=0 strebt die Funktionsfolge: [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm]
> 1-x = 1
nein - vielmehr wäre [mm] $f_0(0)=0^0-0^1=1-0=1\,.$
[/mm]
> für n>0 [mm]\limes_{x\rightarrow0} x^n-x^{x+1}[/mm] = 0
> Also ist [mm]f_n[/mm] nicht stetig in 0 , oder?
Was hat das mit der Stetigkeit eines [mm] $f_n\,,$ [/mm] wobei [mm] $n\,$ [/mm] fest ist, an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] zu tun? Ich sehe hier, dass, wenn weiterhin [mm] $n=0\,$ [/mm] ist wie oben, dann für $x [mm] \in [/mm] (0,1]$ gilt
[mm] $$f_0(x)=x^0-x^1=1-x$$
[/mm]
und damit auch
[mm] $$\lim_{x \to 0}f_0(x)=\lim_{\substack{0 \not=x \in [0,1]\\x \to 0}}(1-x)=1-\lim_{\substack{0 \not=x \in [0,1]\\x \to 0}}x=1-0=1\,.$$
[/mm]
Nun betrachten wir $n [mm] \in \IN \setminus \{0\}:$
[/mm]
Hier gilt sicherlich [mm] $f_n(0)=0^n-0^{n+1}=0\,.$ [/mm] Weiter ist aber [mm] $\lim_{x \to 0}f_n(x)=\lim_{\substack{0 \not=x \in [0,1]\\x \to 0}}f_n(x)=(\lim_{x \to 0}x^n)-\lim_{x \to 0}x^{n+1}=0-0=0\,,$ [/mm] also ist [mm] $f_n\,$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 1$ stetig im Nullpunkt!
Also: Alle [mm] $f_n: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1]$ mit [mm] $f_n(x):=x^n-x^{n+1}$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$) sind wunderbar stetig in [mm] $x_0=0\,.$ [/mm] Es wäre auch schlecht, wenn sie es nicht wären, denn es sind spezielle Polynome (eingeschränkt auf $[0,1]$).
Meinte der Aufgabensteller vielleicht eher, dass Du die Funktion $f: [0,1] [mm] \to [0,1]\,,$ [/mm] welche pktw. auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definiert werde durch
[mm] $$f(x):=\lim_{n \to \infty}f_n(x)=\lim_{n \to \infty}(x^n-x^{n+1})$$
[/mm]
auf Stetigkeit untersuchen sollst?
Gruß,
Marcel
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