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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit einer Funktion
Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit einer Funktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 27.03.2011
Autor: Tsetsefliege

Aufgabe
Sei [mm] f:\mathds{R}->\mathds{R} [/mm] differenzierbar. f habe Periode [mm] 2\pi, [/mm] d.h. [mm] f(x+2\pi)=f(x) [/mm] für jedes x [mm] \in\mathds{R} [/mm] . Sei

[mm] g(t):=\begin{cases} \bruch{f(x+t)-f(x)}{2*sin(\bruch{t}{2})}, & t\not\in 2\pi\mathds{Z} \\ f'(x)(-1)^{k}, & (t=2\pi k,k\in\mathds{Z}) \end{cases} [/mm]

Zeige, dass g überall stetig ist, insbesondere ist also g stetig auf [mm] [-\pi,+\pi] [/mm] und g(0)=f'(x)

Ich habe mir das folgendermaßen überlegt; Das g(0)=f'(x) ist einfach, ich muss für t nur [mm] 2\pi*k [/mm] einsetzen, und k=t=0 setzen. Daraus sollte man dann doch irgendwie den allgemeinen Fall ableiten können, nur habe ich keine Idee dazu.

        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 So 27.03.2011
Autor: ullim

Hi,

damit g(t) steig in [mm] 2\pi{k} [/mm] ist muss der Grenzwert von

[mm] \bruch{f(x+t)-f(x)}{2\cdot{}sin(\bruch{t}{2})} [/mm] für t-> [mm] 2\pi{k} [/mm] berechnet werden und überprüft werden ob er mit [mm] f'(x)(-1)^k [/mm] übereinstimmt.

Auf den obigen Ausdruck kan man l'Hospital anwenden und dann den Grenzwert berechnen. Also

[mm] \limes_{t\rightarrow{2\pi{k}}}\bruch{f'(x+t)}{cos\left(\bruch{t}{2}\right)}=\bruch{f'(x+2\pi{k})}{(-1)^k} [/mm]

Da [mm] f'(x+2\pi{k})=f'(x) [/mm] gilt, folgt

[mm] \limes_{t\rightarrow{2\pi{k}}}\bruch{f'(x+t)}{cos\left(\bruch{t}{2}\right)}=f'(x)*(-1)^k [/mm]

für k=0 folgt dann auch noch g(0)=f'(x)

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 So 27.03.2011
Autor: Tsetsefliege

Vielen Dank.

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 So 27.03.2011
Autor: ullim

Hi,

das [mm] f'(x+2\pi{k})=f'(x) [/mm] gilt ist aber noch zu beweisen.

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 So 27.03.2011
Autor: Tsetsefliege

Ja, aber das folgt ja aus der Voraussetzung [mm] f(x+2\pi)=f(x), 2\pi [/mm] gibt abgeleitet immer 0, daher [mm] f'(x+2\pi)=f(x), [/mm] oder?

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 So 27.03.2011
Autor: ullim

Hi,

[mm] f'(x+2\pi{k})=\limes_{h\rightarrow{0}}\bruch{f(x+2\pi{k}+h)-f(x+2\pi{k})}{h}=\limes_{h\rightarrow{0}}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) [/mm]

Bezug
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