Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Ist die Funktion
g: (0, [mm] 1)\to \IR; t\mapsto \bruch{1}{log(t)}
[/mm]
stetig bzw. gleichmäßig stetig? |
So, ich habe zuerst Stetigkeit geprüft.
Hierfür betrachte ich
[mm] \limes_{t\rightarrow 0+} \bruch{1}{log(t)} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und [mm] \limes_{t\rightarrow 0-} \bruch{1}{log(t)} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Somit ist die Funktion nicht stetig und auch nicht gleichmäßig stetig.
Kann ich das so machen oder hab ich da nen Fehler weil es das offene Intervall von 0 bis 1 ist (0,1) ??
Bitte um Hilfe
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mi 30.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktion
> g: (0, [mm]1)\to \IR; t\mapsto \bruch{1}{log(t)}[/mm]
> stetig bzw.
> gleichmäßig stetig?
> So, ich habe zuerst Stetigkeit geprüft.
> Hierfür betrachte ich
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0+} \bruch{1}{log(t)}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
Das ist falsch
> und
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0-} \bruch{1}{log(t)}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
und das ist unsinnig, da der Log. für t<0 nicht def. ist
>
> Somit ist die Funktion nicht stetig
Doch doch, sie ist tadellos stetig
> und auch nicht
> gleichmäßig stetig.
Das wissen wir noch nicht
FRED
>
> Kann ich das so machen oder hab ich da nen Fehler weil es
> das offene Intervall von 0 bis 1 ist (0,1) ??
>
> Bitte um Hilfe
>
> Viele Grüße
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:31 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Calculu |
Oh man, ich hab was falsches aufgeschrieben... aber da du sagst die Funktion sei stetig, stimmt folgendes wohl auch nicht. Kannst du mit aber vl sagen wieso es nicht stimmt.
[mm] \limes_{t\rightarrow 1+} \bruch{1}{log(x)}= \infty [/mm]
und [mm] \limes_{t\rightarrow 1-} \bruch{1}{log(x)} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Ich nähere mich doch bei 1- der Null von links, also im negativen Bereich und einmal von rechts, also im positiven. Also hab ich einmal da stehen [mm] \bruch{1}{etwas.ganz.ganz.kleines, allerdings.negativ} [/mm] und einmal [mm] \bruch{1}{etwas.ganz.ganz.kleines, allerdings.postiv} [/mm] ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mi 30.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Lies dir bitte noch einmal genau das Intervall durch in dem sie stetig sein soll. Das ist das offene Intervall (0,1)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Calculu |
Ei ja, das war ja meine Frage, ob das dann so nicht geht.
Wie beweise ich denn ansonsten hier die Stetigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 30.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei $f(t) = log(t)$ . f ist auf (0,1) stetig. Sind wir uns da einig ?
Weiter ist f auf (0,1) nullstellenfrei. Einverstanden ?
Dann ist 1/f auf (0,1) stetig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Calculu |
Oh krass, und das reicht aus als Begründung wenn ich das so hinschreibe?
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Du solltest in der Analysis Sätze gehabt haben, wie
Die Funktion [mm] $f:[a,b]\to [\alpha ,\beta [/mm] ] $ monoton bijektiv. Dann ist die Umkehrfunktion $ [mm] f^{-1} [/mm] $ stetig auf $ [mm] [\alpha ,\beta [/mm] ] $.
Sei [mm] $I\subset \IR$ [/mm] und [mm] $f:I\to \IR$ [/mm] eine streng monotone Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}:J \to \IR$ [/mm] mit $f(I)=J$ stetig.
Unter bestimmen Bedingung ist Komposition von stetigen Funktionen stetig.
Die e-Funktion ist stetig.
Dann würde das reichen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Calculu |
Ok, das mit der Stetigkeit ist dann klar.
Bleibt noch gleichmäßige Stetigkeit.
das hab ich so gemacht:
Nach dem Satz von Heine: " Jede stetige Fkt. auf einer kompakten Menge ist gleichmnäßig stetig."
Also prüfe auf Kompaktheit!
Also Abgeschlossenheit und Beschränktheit.
1. Abgeschlossenheit:
Die Menge (0,1) ist nicht abgeschlossen, da das Komplement [mm] (-\infty, [/mm] 0 ] [mm] \cup [/mm] [ 1, [mm] \infty [/mm] ) nicht offen ist.
Also ist die Menge nicht kompakt. Und somit ist die Fkt. nicht gleichmäßig stetig.
Richtig?
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Hallo,
> Nach dem Satz von Heine: " Jede stetige Fkt. auf einer
> kompakten Menge ist gleichmnäßig stetig."
Ja.
>
> Also prüfe auf Kompaktheit!
> Also Abgeschlossenheit und Beschränktheit.
>
> 1. Abgeschlossenheit:
>
> Die Menge (0,1) ist nicht abgeschlossen,
Stimmt.
> Also ist die Menge nicht kompakt.
Genau.
> Und somit ist die Fkt.
> nicht gleichmäßig stetig.
>
> Richtig?
Nein, Dein Schluß ist falsch.
Der Satz erzählt Dir etwas über Funktionen über kompakten Intervallen, welche zusätzlich stetig sind.
Er sagt Dir nichts über Funktionen, die nicht über kompakten Intervallen definiert sind, und er sagt Dir nichts über Funktionen, die nicht stetig sind.
Beispiel:
Alle Fische im Teich meines Nachbarn sind Goldfische.
Also:
Fisch und in Nachbars Teich ==> Goldfisch.
Beim Angeln in Nachbars Teich erleben wir keine Überraschungen: wenn wir dort Angerglück haben, ist's ein Goldfisch.
Dieses Wissen nützt uns aber überhaupt nichts, wenn wir anderswo angeln.
Wenn uns im nächsten Gewässer der Fang eines Fisches gelingt, dann wissen wir nur:
es ist ein Goldfisch oder es ist kein Goldfisch. Wir müssen den Fang genauer untersuchen.
Du wirst alle wegen der glm. Stetigkeit nochmal in Dich gehen müssen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Fr 02.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, das mit der Stetigkeit ist dann klar.
> Bleibt noch gleichmäßige Stetigkeit.
> das hab ich so gemacht:
>
> Nach dem Satz von Heine: " Jede stetige Fkt. auf einer
> kompakten Menge ist gleichmnäßig stetig."
>
> Also prüfe auf Kompaktheit!
> Also Abgeschlossenheit und Beschränktheit.
>
> 1. Abgeschlossenheit:
>
> Die Menge (0,1) ist nicht abgeschlossen, da das Komplement
> [mm](-\infty,[/mm] 0 ] [mm]\cup[/mm] [ 1, [mm]\infty[/mm] ) nicht offen ist.
>
> Also ist die Menge nicht kompakt. Und somit ist die Fkt.
> nicht gleichmäßig stetig.
Diese Logik ist atemberaubend ! Damit wäre jede konstante Funktion auf (0,1) nicht glm. stetig !!!!!
FRED
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> Richtig?
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