Stetigkeit eine Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Mats22 |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\begin{cases} x*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{= 0} \end{cases} [/mm] |
Hallo ich soll bei der oben beschriebene Funktion zeigen, dass f in 0 stetig ist m.h. der Definition von Stetigkeit!!
Mein Ansatz:
Wegen der Def. von Stetigkeit muss gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] f(x)= f(0)=0
darausfolgt: [mm] \limes_{x\rightarrow\0} x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
und wie mache ich dann weiter?!
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Hallo,
> [mm]f(x)=\begin{cases} x*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\
0, & \mbox{für } x \mbox{= 0} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo ich soll bei der oben beschriebene Funktion zeigen,
> dass f in 0 stetig ist m.h. der Definition von
> Stetigkeit!!
> Mein Ansatz:
> Wegen der Def. von Stetigkeit muss gelten:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] f(x)= f(0)=0
Ja.
> darausfolgt: [mm]\limes_{x\rightarrow\0} x*sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
Was soll das sein, das kann man nicht entziffern.
> und wie mache ich dann weiter?!
>
Du musst zeigen bzw. eigentlich nur gut argumentieren, dass der Grenzwert für x gegen Null ebenfalls Null ist. Nutze dazu den Wertebereich der Sinusfunktion, den sie keinesfalls überschreitet, auch nicht, wenn sie 'unendlich oft' oszilliert.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Mats22 |
das sollte das sein: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x\cdot{}sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Der Wertebereich ist irgendwie (-0,2... ,1) würde ich sagen, laut Geogebra ...
Aber was soll mir das jetzt helfen?
Müsste ich nicht [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x\cdot{}sin(\bruch{1}{x}) [/mm] irgendwie solange umformen bis ersichtlich 0 rauskommt??
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Hallo,
> das sollte das sein: [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x\cdot{}sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> Der Wertebereich ist irgendwie (-0,2... ,1) würde ich
> sagen, laut Geogebra ...
Nicht so viel an GeoGebra delegieren. Es geht um den Wertebereich der Sinusfunktion. Was macht die Funktion
[mm] g(x)=sin\left(\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
wenn x gegen Null strebt?
> Aber was soll mir das jetzt helfen?
> Müsste ich nicht [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x\cdot{}sin(\bruch{1}{x})[/mm]
> irgendwie solange umformen bis ersichtlich 0 rauskommt??
Nein, nichts mehr umformen. Da kann man nur noch drüber nachdenken, denn die Lösung ist erstaunlich einfach...
Es gibt aber eine Möglichkeit, wie man das ganze 'sauber aufschreibt': Substituiere
[mm] u=\bruch{1}{x}
[/mm]
und lasse u gegen unendlich streben. Die Logik, mit der man dann zum Grenzwert gelangt, ist allerdings genau die gleiche geblieben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Mats22 |
Laut Vorlesung hat sin(1/x) in x=0 eine Oszillationsstelle! ... mmh, ich checks nicht ... :/
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Hallo,
> Laut Vorlesung hat sin(1/x) in x=0 eine Oszillationsstelle!
> ... mmh, ich checks nicht ... :/
nochmal: welchen Wertebereich besitzt die Sinusfunktion? Diesen verlässt sie auch an einer solchen Oszillationsstelle nicht. Dein x geht gegen Null, die Sinusfunktion hat den Wertebereich [mm] W_S, [/mm] was bedeutet das also für die Multiplikation
0*w
mit [mm] w\in{W_S} [/mm] ?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Mats22 |
Der Wertebereich ist [-1,1]. 0 * w aus diesem Wertebereich ist immer 0.
... Danke für deine Hilfe, ich kapier es einfach nicht, aber danke für deine Mühe!
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Hallo,
wenn x gegen Null strebt, dann kann man mal gedanklich x=0 setzen. Jetzt steht da rechts vom Multiplikationszeichen ein Term, der undefiniert ist. Eines weißt du aber über diesen Term: sein Wert liegt irgendwo im Intervall [-1;1]. Was bedeutet das wohl für den Grenzwert deiner Funktion für x gegen Null, bzw.: was ergibt die Rechnung Null mal eine endliche Zahl?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Mats22 |
Dann geht der ganze Term auch gegen 0! Danke! Wenn das alles ist, dann stand ich übelst auf dem Schlauch!
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Hallo,
> Dann geht der ganze Term auch gegen 0!
genau so ist es. Und ich habe schon öfter gesehen, dass das zur Verdeutlichung so geschrieben wurde:
[mm]\limes_{x\rightarrow{0}}x*sin\left(\bruch{1}{x}\right)=\limes_{u\rightarrow\infty}\bruch{1}{u}*sin(u)=0 [/mm]
Die eleganteste Lösung hat dir weiter unten FRED gegeben, schau sie dir auch nochmal an, aber da kann ich nichts zu sagen, ob sie bereits verwendet werden darf.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
|f(x)| [mm] \le [/mm] |x| für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
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