Stetigkeit/e^(-1/x) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 16.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Untersuchen sie due folgende Fuktion auf stetigkeit!
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) [mm] =\begin{cases} e^{-1/x}, & falls x>0 \\ 0, & sonst \end{cases} [/mm] |
Meine Frage erstaml, wie weiß ich welche Def. ich benutzen soll? ALso die Epsilon,Delta-Def oder die des rechtsseitigen und linksseitigen limes?
Hab mich an den zweiten versucht
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ f(x) $
Also f(x) ist ja laut Def =0
Ich definiere x:= 1/n
falls [mm] \exists [/mm] $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \
und 0<x
|f(1/n)|= [mm] |e^{-n}| [/mm] = [mm] \frac{1}{exp(n)} [/mm] geht das gegen 0?
und x:= -1/n
falls [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \
und 0>x
|f(-1/n)| = [mm] e^n [/mm] =exp(n) geht gegen + [mm] \infty
[/mm]
Ich weiß nicht ob das überhaupt irgendwie stimmt, ich bin da noch unsicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen sie due folgende Fuktion auf stetigkeit!
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x) [mm]=\begin{cases} e^{-1/x}, & falls x>0 \\ 0, & sonst \end{cases}[/mm]
>
> Meine Frage erstaml, wie weiß ich welche Def. ich benutzen
> soll? ALso die Epsilon,Delta-Def oder die des
> rechtsseitigen und linksseitigen limes?
vor allem kann man das nicht beantworten, weil man nicht weiß, welche Sätze Du kennst. Ich sehe hier direkt, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] stetig ist, und dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] als Verknüpfung stetiger Funktionen (wobei da auch ein Quotient stetiger Funktionen auftaucht, der auch stetig ist) stetig ist. Also würde es reichen, zu untersuchen, ob [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nun auch stetig ist, oder nicht.
Das kannst Du mit "links-/rechtsseitiger Stetigkeitsuntersuchung" machen, bzw. was dem ganzen auch sehr ähnlich ist: Folgenstetigkeit an der Stelle [mm] $0\,.$
[/mm]
> Hab mich an den zweiten versucht
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) \ = \ f(x)[/mm]
>
> Also f(x) ist ja laut Def =0
>
> Ich definiere x:= 1/n
Schreibe lieber überall [mm] $x_n=1/n\,.$ [/mm] Sonst ist das verwirrend! (Es ist sonst nicht so klar, dass [mm] $x\,$ [/mm] von [mm] $n\,$ [/mm] abhängt.)
> falls [mm]\exists[/mm] $ [mm]\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x)[/mm] \
> und 0<x
> |f(1/n)|= [mm]|e^{-n}|[/mm] = [mm]\frac{1}{exp(n)}[/mm] geht das gegen 0?
Ja! Weißt Du denn nicht, dass [mm] $\exp(y) \to \infty$ [/mm] bei $y [mm] \to \infty$?
[/mm]
> und x:= -1/n
> falls [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x)[/mm] \
> und 0>x
> |f(-1/n)| = [mm]e^n[/mm] =exp(n) geht gegen + [mm]\infty[/mm]
Was machst Du hier für einen Unsinn? Es war doch $0> [mm] x_n:=-1/n$ [/mm] und damit ist [mm] $f(x_n)=f(-1/n)=0$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
> Ich weiß nicht ob das überhaupt irgendwie stimmt, ich bin
> da noch unsicher.
Naja, Du hast so nun noch gar nichts gezeigt.
(Hätte letztstehendes gestimmt, also wäre $f(-1/n) [mm] \to \infty$ [/mm] wahr gewesen (was es aber nicht ist!!!), so hättest Du Unstetigkeit an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nachgewiesen!)
Du musst (um die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] einzusehen) zeigen: Für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit $0 [mm] \not=x_n \to [/mm] 0$ folgt
[mm] $$\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)\;\;\;(=f(0))\,.$$
[/mm]
So kann man das mit Folgenstetigkeit formulieren. Der Beweis damit ist auch einfach: Man "zerlegt" einfach die Folge in zwei Teilfolgen, wobei die eine alle Folgenglieder [mm] $<0\,$ [/mm] und die andere alle Folgenglieder $> [mm] 0\,$ [/mm] hat. Diese beiden Teilfolgen konvergieren beide auch gegen 0, die eine von links, die andere von rechts. Und weil ich bei Deiner Idee gleich eh das gleiche schreiben werde, lies' bitte unten weiter:
Du wolltest das mit Links- und Rechtsstetigkeit ausführen. Dann hast Du zu zeigen: Für alle Folgen [mm] $(l_n)_n$ [/mm] mit $0 > [mm] l_n \to [/mm] 0$ und alle Folgen [mm] $(r_n)_n$ [/mm] mit $0 < [mm] r_n \to [/mm] 0$ (d.h. [mm] $(l_n)_n$ [/mm] strebt "echt von links" gegen Null, [mm] $(r_n)_n$ [/mm] strebt "echt von rechts" gegen Null) gilt:
[mm] $$f(l_n) \to [/mm] f(0)=0 [mm] \text{ und }f(r_n) \to 0=f(0)\,.$$
[/mm]
Seien also [mm] $(l_n)_n$ [/mm] und [mm] $(r_n)_n$ [/mm] Folgen, die nur mit der Eigenschaft $0 > [mm] l_n \to [/mm] 0$ und $0 < [mm] r_n \to [/mm] 0$ ausgestattet, sonst aber beliebig sind. Klar ist, dass
[mm] $$f(l_n)=0 \text{ für alle }n$$
[/mm]
gilt, also folgt auch [mm] $\lim_{n \to \infty}f(l_n)=\lim_{n \to \infty}0=0=f(0)\,.$ [/mm]
(Wegen der Beliebigkeit von [mm] $(l_n)_n$ [/mm] erkennen wir somit also die Linksstetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,.$)
[/mm]
Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt nun
[mm] $$f(r_n)=e^{-1/r_n}=\frac{1}{e^{1/r_n}}\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $\exp(s) \to \infty$ [/mm] für $s [mm] \to \infty\,,$ [/mm] erkennt man oben - weil aus $0 < [mm] r_n \to [/mm] 0$ auch [mm] $1/r_n \to \infty$ [/mm] folgt - dass nun
[mm] $$1/e^{1/r_n} \to [/mm] 0$$
strebt bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] also
[mm] $$f(r_n) \to 0=f(0)\,.$$
[/mm]
Wegen der Beliebigkeit von [mm] $(r_n)_n$ [/mm] also auch die Rechtsstetigkeit an der Stelle [mm] $0\,.$
[/mm]
P.S.:
Wolltest Du nun auch noch mal separat die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an allen anderen Stellen [mm] $x_0 \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] mit der Folgenstetigkeit überprüfen, so würdest Du beginnen:
1. Fall: Sei [mm] $x_0 [/mm] < 0$ und seien [mm] $x_0 \not=x_n \to x_0\,.$ [/mm] Du kannst hier dann o.E. annehmen, dass alle [mm] $x_n [/mm] < 0$ wären (warum?), und dann folgt die "Folgenstetigkeit an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] < 0$" sofort.
2. Fall: Sei [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und seien [mm] $x_0 \not=x_n \to x_0\,,$ [/mm] und Du ahnst es: Hier kannst Du o.E. annehmen, dass alle [mm] $x_n [/mm] > 0$ sind (warum?). Dann hast Du zu begünden:
Aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] folgt auch
[mm] $$\lim_{n \to \infty}f(x_n) =\lim_{n \to \infty}e^{-1/x_n} \to f(\lim_{n \to \infty}x_n)=f(x_0)=e^{-1/x_0}\,.$$
[/mm]
P.P.S.:
Wäre ich ein wenig netter gewesen, hätte ich gesagt, dass man oben sofort sieht, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] stetig, insbesondere also linksstetig an [mm] $0\,$ [/mm] ist, und dass [mm] $f\,$ [/mm] auch auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] stetig ist (gleiche Argumente wie oben) - und daher hätte es eigentlich auch gereicht, die rechtsseitige Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] zu untersuchen bzw. nachzuweisen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Di 17.01.2012 | | Autor: | sissile |
> und x:= -1/n
> falls $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] $ [mm] \
[/mm]
> und 0>x
> |f(-1/n)| = $ [mm] e^n [/mm] $ =exp(n) geht gegen + $ [mm] \infty [/mm] $
> > Was machst Du hier für einen Unsinn? Es war doch $ 0> [mm] x_n:=-1/n [/mm] $ und > damit ist $ [mm] f(x_n)=f(-1/n)=0 [/mm] $ für alle $ [mm] n\,. [/mm] $
Ich hab -1/n für x eingesetzt
[mm] |f(-1/n)|=|e^{-1/(-1/n)}| [/mm] = [mm] e^n [/mm]
Anscheinend falsch, aber ich vertseh nicht warum... ;(
> Für alle Folgen $ [mm] (l_n)_n [/mm] $ mit $ 0 > [mm] l_n \to [/mm] 0 $ und alle Folgen $ [mm] (r_n)_n [/mm] $ mit $ 0 < [mm] r_n \to [/mm] 0 $ (d.h. $ [mm] (l_n)_n [/mm] $ strebt "echt von links" gegen Null, $ [mm] (r_n)_n [/mm] $ strebt "echt von rechts" gegen Null) gilt:
$ [mm] f(l_n) \to [/mm] f(0)=0 [mm] \text{ und }f(r_n) \to 0=f(0)\,. [/mm] $
Und oben hab ich nur gezeigt, dass zwei beliebige Folgen gegen 0 streben. Also muss man das noch verallgemeinern oder?
> $ [mm] f(l_n) \to [/mm] f(0)=0 [mm] \text{ und }f(r_n) \to 0=f(0)\,. [/mm] $
> Seien also $ [mm] (l_n)_n [/mm] $ und $ [mm] (r_n)_n [/mm] $ Folgen, die nur mit der Eigenschaft $ 0 > [mm] l_n \to [/mm] 0 $ und $ 0 < [mm] r_n \to [/mm] 0 $ ausgestattet, sonst aber beliebig sind. Klar ist, dass
> $ [mm] f(l_n)=0 \text{ für alle }n [/mm] $
> gilt, also folgt auch $ [mm] \lim_{n \to \infty}f(l_n)=\lim_{n \to \infty}0=0=f(0)\,. [/mm] $
> (Wegen der Beliebigkeit von $ [mm] (l_n)_n [/mm] $ erkennen wir somit also die Linksstetigkeit von $ [mm] f\, [/mm] $ an der Stelle $ [mm] 0\,. [/mm] $)
Ich versteh nicht wie du daraus die Linksstetigkeit folgerst.
Zusammenfassend:
Am Anfang kann man zwei beliebige Folgen, die eine größer als 0 (in dem Fall) und die andere kleiner als 0 in die Funktion einsetzen. Und wenn die Grenzwerte und der Funktionswert bei der STelle 0 nicht übereinstimmen, dann ist die Funktion unstetig.
Wenn die Werte übereinstimmen, muss noch gezeigt werden, dass $ [mm] \lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)\;\;\;(=f(0))\,. [/mm] $
Aber wie ich das mache muss ich irgendwie noch rauslesen aus deinen Thread.
Es können also der linksseitiger und rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert übereinstimmen und trotzdem keine Stetigkeit bestehen? Oder ich versteh nicht, warum ich dann noch den zweiten Teil zeigen muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Di 17.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
es ist mir nun zu spät, daher nur kurz:
> > und x:= -1/n
> > falls [mm]\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x)[/mm] [mm]\[/mm]
> > und 0>x
> > |f(-1/n)| = [mm]e^n[/mm] =exp(n) geht gegen + [mm]\infty[/mm]
>
> > > Was machst Du hier für einen Unsinn? Es war doch [mm]0> x_n:=-1/n[/mm]
> und > damit ist [mm]f(x_n)=f(-1/n)=0[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm]
> Ich hab -1/n für x eingesetzt
> [mm]|f(-1/n)|=|e^{-1/(-1/n)}|[/mm] = [mm]e^n[/mm]
> Anscheinend falsch, aber ich vertseh nicht warum... ;(
es war doch definiert: [mm] $f(x):=e^{-1/x}$ [/mm] für [mm] $\blue{x > 0}$ [/mm] und [mm] $f(x):=0\,,$ [/mm] sonst. Das ist (weil [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist) das gleiche wie
[mm] $f(x):=e^{-1/x}$ [/mm] für [mm] $\blue{x > 0}$ [/mm] und $f(x):=0$ für [mm] $\red{x \le 0}\,.$ [/mm] Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] ist nun [mm] $\red{-1/n < 0}\,,$ [/mm] also [mm] $f(\red{-1/n})=0\,.$ [/mm] Du kannst doch nicht die Definition für [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle $-1/n$ so benutzen, wie es wäre, wenn $-1/n > 0$ wäre - dem ist doch nicht so!! Schau' Dir genau die Definition von [mm] $f\,$ [/mm] an.
> > Für alle Folgen [mm](l_n)_n[/mm] mit [mm]0 > l_n \to 0[/mm] und alle Folgen
> [mm](r_n)_n[/mm] mit [mm]0 < r_n \to 0[/mm] (d.h. [mm](l_n)_n[/mm] strebt "echt von
> links" gegen Null, [mm](r_n)_n[/mm] strebt "echt von rechts" gegen
> Null) gilt:
>
> [mm]f(l_n) \to f(0)=0 \text{ und }f(r_n) \to 0=f(0)\,.[/mm]
> Und
> oben hab ich nur gezeigt, dass zwei beliebige Folgen gegen
> 0 streben. Also muss man das noch verallgemeinern oder?
Du hast nur etwas für zwei "konkrete" Nullfolgen gezeigt, und der eine Teil war leider falsch. Nochmal: $f(x)=0$ galt für $x [mm] \le 0\,.$ [/mm] Und wenn man sich die $-1/n$ anschaut:
[mm] $$n=1:\;\;-1/n=-1/1 [/mm] < [mm] 0\,,$$
[/mm]
[mm] $$n=2:\;\;-1/n=-1/2 [/mm] < [mm] 0\,,$$
[/mm]
[mm] $$n=3:\;\;-1/n=-1/3 [/mm] < [mm] 0\,,$$
[/mm]
[mm] $$n=4:\;\;-1/n=-1/4 [/mm] < [mm] 0\,,$$
[/mm]
.
.
.
also sind die zugehörigen Funktionswerte alle Null. Wie gesagt: Deine Methode mit "konkreten Folgen" hätte funktionieren können, wäre die Funktion unstetig an [mm] $0\,.$
[/mm]
> > [mm]f(l_n) \to f(0)=0 \text{ und }f(r_n) \to 0=f(0)\,.[/mm]
>
>
>
> > Seien also [mm](l_n)_n[/mm] und [mm](r_n)_n[/mm] Folgen, die nur mit der
> Eigenschaft [mm]0 > l_n \to 0[/mm] und [mm]0 < r_n \to 0[/mm] ausgestattet,
> sonst aber beliebig sind. Klar ist, dass
>
> > [mm]f(l_n)=0 \text{ für alle }n[/mm]
>
>
> > gilt, also folgt auch [mm]\lim_{n \to \infty}f(l_n)=\lim_{n \to \infty}0=0=f(0)\,.[/mm]
>
> > (Wegen der Beliebigkeit von [mm](l_n)_n[/mm] erkennen wir somit also
> die Linksstetigkeit von [mm]f\,[/mm] an der Stelle [mm]0\,. [/mm])
> Ich versteh nicht wie du daraus die Linksstetigkeit
> folgerst.
>
>
> Zusammenfassend:
> Am Anfang kann man zwei beliebige Folgen, die eine
> größer als 0 (in dem Fall) und die andere kleiner als 0
> in die Funktion einsetzen. Und wenn die Grenzwerte und der
> Funktionswert bei der STelle 0 nicht übereinstimmen, dann
> ist die Funktion unstetig.
Hier gibt's bei Unstetigkeit i.a. viel mehr Möglichkeiten. Was ausreicht ist: Einer der beiden Grenzwerte existiert nicht, oder einer der beiden ist vom Funktionswert verschieden, oder die beiden sind verschieden... Dann hat man jedenfalls dort Unstetigkeit.
> Wenn die Werte übereinstimmen, muss noch gezeigt werden,
> dass [mm]\lim_{n\to \infty}f(x_n)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)\;\;\;(=f(0))\,.[/mm]
>
> Aber wie ich das mache muss ich irgendwie noch rauslesen
> aus deinen Thread.
Dann lies genau! Die Folgen haben gewisse Eigenschaften, sind sonst aber beliebig. Sie werden nicht "explizit formuliert", sondern man nutzt im Wesentlichen einzig deren Eigenschaften.
> Es können also der linksseitiger und rechtsseitige
> Grenzwert und der Funktionswert übereinstimmen und
> trotzdem keine Stetigkeit bestehen?
Nein. Das habe ich auch nirgends geschrieben! Was nur sein kann, ist, dass Du "ungünstige konkrete Folgen" bei einer Unstetigkeitsstelle herauswählen kannst, die dann die Unstetigkeit nicht zeigen. Aber darüber machen wir uns ein andermal Gedanken!
> Oder ich versteh nicht,
> warum ich dann noch den zweiten Teil zeigen muss.
Welchen zweiten Teil? Wie gesagt:
Durch ein wenig hinsehen erkennt man hier die Funktion als stetig, wenn man gezeigt hat, dass sie an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] rechtsstetig ist. Unterscheide bitte, wo ich geschrieben habe, dass Du das machen musst (das MUSS man bei der Aufgabe definitiv, die Rechtsstetigkeit an der Stelle 0 nachprüfen), und wo ich geschrieben habe, dass Du das (zur Übung) auch noch machen kannst. Du musst nicht auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] Stetigkeit mit Folgenstetigkeit beweisen - das war nur eine Alternative, um mal andes einzusehen, dass die Funktion dort stetig ist.
Gruß,
Marcel
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