Stetigkeit & Umkehrfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Mi 27.01.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $\ f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = 2x + 1 + [mm] \sin [/mm] x $
Zeigen Sie, dass $\ f $ eine differenzierbare Umkehrfunktion $\ g $ hat und berechnen Sie $\ g'(1) $ |
In dieser Aufgabe sollen wir voraussetzen, dass $\ f $ streng monoton wachsend ist.
Das heißt, dass für die Existenz von $\ g $ nur noch zu zeigen ist, dass $\ f $ stetig ist auf ganz $\ [mm] \IR [/mm] $.
Ich weiß nur nicht, wie ich zeigen kann, dass $\ h(x) = 2x $ auf ganz $\ [mm] \IR [/mm] $ stetig ist.
Die Stetigkeit für $\ [mm] \sin [/mm] x $ wurde schon bewiesen und für konstante Funktionen ist es mir natürlich klar.
Kann mir jemand dabei helfen? Ich würde das gerne, wenn möglich, mit dem $\ [mm] \varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] zeigen.
Ein weiteres ist die Umkehrfunktion von $\ [mm] \sin [/mm] x $.
Ich weiß, dass die Umkehrfunktion davon $\ [mm] \arcsin [/mm] x $ ist, doch wie bekommen ich das $\ x $ isoliert, so dass ich $\ x $ und $\ f(x) = y $ vertauschen kann?
Freue mich über Antworten.
Grüße
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\ f: \IR \to \IR, f(x) = 2x + 1 + \sin x[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\ f[/mm] eine differenzierbare Umkehrfunktion [mm]\ g[/mm]
> hat und berechnen Sie [mm]\ g'(1)[/mm]
> In dieser Aufgabe sollen wir
> voraussetzen, dass [mm]\ f[/mm] streng monoton wachsend ist.
Das kann man doch leicht zeigen: $f'(x) = 2+sin(x) [mm] \ge [/mm] 2-1=1 >0$ für jedes x
> Das heißt, dass für die Existenz von [mm]\ g[/mm] nur noch zu
> zeigen ist, dass [mm]\ f[/mm] stetig ist auf ganz [mm]\ \IR [/mm].
Für die Existenz einer Umkehrfunktion brauchst Du das nicht. f ist streng wachsend, also injektiv, sommit ex. die Umkehrfunktion auf [mm] f(\IR)
[/mm]
>
> Ich weiß nur nicht, wie ich zeigen kann, dass [mm]\ h(x) = 2x[/mm]
> auf ganz [mm]\ \IR[/mm] stetig ist.
> Die Stetigkeit für [mm]\ \sin x[/mm] wurde schon bewiesen und für
> konstante Funktionen ist es mir natürlich klar.
>
> Kann mir jemand dabei helfen? Ich würde das gerne, wenn
> möglich, mit dem [mm]\ \varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium zeigen.
[mm] $|h(x)-h(x_0)| [/mm] = [mm] 2|x-x_0|< \varepsilon \gdw |x-x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$
[/mm]
>
> Ein weiteres ist die Umkehrfunktion von [mm]\ \sin x [/mm].
> Ich
> weiß, dass die Umkehrfunktion davon [mm]\ \arcsin x[/mm] ist, doch
> wie bekommen ich das [mm]\ x[/mm] isoliert, so dass ich [mm]\ x[/mm] und [mm]\ f(x) = y[/mm]
> vertauschen kann?
Oben steht doch : " Zeigen Sie, dass $ \ f $ eine differenzierbare Umkehrfunktion $ \ g $ hat"
Explizit bestimmen sollst Du g nicht ( das wird auch schwierig sein !)
FRED
>
> Freue mich über Antworten.
>
> Grüße
> ChopSuey
>
>
>
|
|
|
|
