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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 27.12.2007 | | Autor: | Millili |
| Aufgabe | | Sei [mm] U\subset\IR [/mm] Offen und [mm] f:U\to\IR [/mm] eine stetige Funktion, die in U ihr Maximum annimmt. zeigen Sie, dass f nicht injektiv sein kann. |
Hallo alle zusammen.
Ich habe folgende Idee gehabt für diese Aufgabe, hört sich für mich allerdings ein wenig schwammig an:
Sei x [mm] \E [/mm] und f habe in x ihr Maximum.
Dann gilt für f(x) > [mm] f(\mu) [/mm] für alle [mm] \mu [/mm] aus [mm] |x-\mu|<\delta, [/mm] für alle [mm] \delta>0
[/mm]
Da f stetig, folgt , dass |f(x) - [mm] f(\mu)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] \varepsilon [/mm] < 0.
Daraus wollt ich dann folgern, dass für f(x- [mm] \delta) [/mm] = [mm] f(x+\delta), [/mm] aber [mm] x-\delta \not= x+\delta
[/mm]
Mir fehlt allerdings der Schritt dahin. Damit wäre die Injektiv wiederlegt.
Ich habe allerdings auch überlegt, dass man evtl. zeigen könnte, dass f nicht streng monoton ist, wenn es in U ein Maximum besitzt und somit auch nicht injektiv. Ginge das auch?
Wäre nett, wenn mir jemand ein feedback zu den Ansätzen geben könnte oder mir weiterhelfen würde.
Danke, schonmal, Millili
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> Sei [mm]U\subset\IR[/mm] Offen und [mm]f:U\to\IR[/mm] eine stetige Funktion,
> die in U ihr Maximum annimmt. zeigen Sie, dass f nicht
> injektiv sein kann.
> Sei x [mm]\E[/mm] und f habe in x ihr Maximum.
>
> Dann gilt für f(x) > [mm]f(\mu)[/mm] für alle [mm]\mu[/mm] aus
> [mm]|x-\mu|<\delta,[/mm] für alle [mm]\delta>0[/mm]
Hallo,
ich vermute, daß Du hier etwas anderes meinst:
Dann gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit [mm] f(x)>f(\mu) [/mm] für alle [mm] \mu [/mm] mit [mm] |x-\mu|<\delta.
[/mm]
Dieses [mm] \delta [/mm] kannst Du so klein wählen, daß die [mm] \delta-Umgebung [/mm] v. x komplett in U liegt. (Warum eigentlich?)
> Daraus wollt ich dann folgern, dass für f(x- [mm]\delta)[/mm] =
> [mm]f(x+\delta),[/mm] aber [mm]x-\delta \not= x+\delta[/mm]
>
> Mir fehlt allerdings der Schritt dahin. Damit wäre die
> Injektiv wiederlegt.
Du könntest es so machen:
1. Fall
[mm] f(x-\delta)= f(x+\delta)
[/mm]
Dann ist f nicht injektiv.
2. Fall:
sei oBdA [mm] f(x-\delta)< f(x+\delta)
[/mm]
Jetzt könntest Du Dir anhand des Zwischenwertsatzes überlegen, daß es zwischen [mm] x-\delta [/mm] und x ein a gibt mit [mm] f(a)=f(x+\delta)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Millili |
> > Sei [mm]U\subset\IR[/mm] Offen und [mm]f:U\to\IR[/mm] eine stetige Funktion,
> > die in U ihr Maximum annimmt. zeigen Sie, dass f nicht
> > injektiv sein kann.
>
> > Sei x [mm]\E[/mm] und f habe in x ihr Maximum.
> >
> > Dann gilt für f(x) > [mm]f(\mu)[/mm] für alle [mm]\mu[/mm] aus
> > [mm]|x-\mu|<\delta,[/mm] für alle [mm]\delta>0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich vermute, daß Du hier etwas anderes meinst:
>
> Dann gibt es ein [mm]\delta[/mm] >0 mit [mm]f(x)>f(\mu)[/mm] für alle [mm]\mu[/mm] mit
> [mm]|x-\mu|<\delta.[/mm]
>
> Dieses [mm]\delta[/mm] kannst Du so klein wählen, daß die
> [mm]\delta-Umgebung[/mm] v. x komplett in U liegt. (Warum
> eigentlich?)
Hallo, Ja genau das meint ich.
[mm] \delta [/mm] kann man so klein wählen , da U offen ist, denke ich?
> 2. Fall:
> sei oBdA [mm]f(x-\delta)< f(x+\delta)[/mm]
>
> Jetzt könntest Du Dir anhand des Zwischenwertsatzes
> überlegen, daß es zwischen [mm]x-\delta[/mm] und x ein a gibt mit
> [mm]f(a)=f(x+\delta)[/mm]
Hmm , also ich habe jetzt:
Da f stetig, gibts es nach dem ZWS ein a [mm] \in [/mm] [x- [mm] \delta,x+\delta] [/mm] mit f(a) = [mm] f(x+\delta).
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich darauf schließen soll, dass a [mm] \in [x-\delta, [/mm] x].
Ich habe bis jetzt :
Da aber f(x)> [mm] f(\mu) [/mm] für alle [mm] \mu [/mm] mit [mm] |x-\mu|< \delta, [/mm]
folgt:
[mm] \exists [/mm] a [mm] \in [x-\delta,x] [/mm] mit f(a) = f( [mm] x+\delta), [/mm] aber a [mm] \not= [/mm] x+ [mm] \delta.
[/mm]
Kann das so stehen gelassen? Hört sich als fehlt da noch was...
Danke, schonmal, Millili
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> [mm]\delta[/mm] kann man so klein wählen , da U offen ist, denke
> ich?
Hallo,
ja, die Offenheit garantiert uns, daß wir solch ein [mm] \delta [/mm] finden, so daß die [mm] \delta [/mm] - Umgebung vom x in U liegt.
> > 2. Fall:
> > sei oBdA [mm]f(x-\delta)< f(x+\delta)[/mm]
> >
> > Jetzt könntest Du Dir anhand des Zwischenwertsatzes
> > überlegen, daß es zwischen [mm]x-\delta[/mm] und x ein a gibt mit
> > [mm]f(a)=f(x+\delta)[/mm]
>
>
> Hmm , also ich habe jetzt:
> Da f stetig, gibts es nach dem ZWS ein a [mm]\in[/mm] [x-
> [mm]\delta,x+\delta][/mm] mit f(a) = [mm]f(x+\delta).[/mm]
Naja, das haut einen jetzt nicht so vom Hocker, oder?
Mit [mm] a:=x+\delta [/mm] ist das der Fall, und dafür brauchen wir nicht den ZWS...
Man muß da etwas raffinierter ans Werk gehen.
Wir wissen ja [mm] f(x-\delta)
Da die Funktion stetig ist, sagt uns der ZWS, daß wir im Intervall [mm] [x-\delta,x] [/mm] ein a finden mit [mm] f(a)=f(x+\delta).
[/mm]
Ach, ich sehe gerade, daß Du unten etwas stehen hast, was ja in diese Richtung geht, es fehlt dort das Argument "ZWS".
Gruß v. Angela
> Da aber f(x)> [mm]f(\mu)[/mm] für alle [mm]\mu[/mm] mit [mm]|x-\mu|< \delta,[/mm]
> folgt:
> [mm]\exists[/mm] a [mm]\in [x-\delta,x][/mm] mit f(a) = f( [mm]x+\delta),[/mm] aber a
> [mm]\not=[/mm] x+ [mm]\delta.[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Millili |
> Wir wissen ja [mm]f(x-\delta)
>
> Da die Funktion stetig ist, sagt uns der ZWS, daß wir im
> Intervall [mm][x-\delta,x][/mm] ein a finden mit [mm]f(a)=f(x+\delta).[/mm]
Ah, genau, ich hatte den Schritt übersehen, dass [mm] f(x-\delta) [/mm] und [mm] f(x+\delta) [/mm] < f(x) sind. Somit ist das Argument schlüssig, danke für deine Hilfe,
Millili
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