Stetigkeit Diffbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} [/mm] beliebig und f: [mm] \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} [/mm] mit f(x,y):=yg(x). Beweise:
f in (0,0) [mm] diffbar\Leftrightarrow [/mm] g in 0 stetig. |
Hallo,
leider habe ich bei der Aufgabe noch nicht viel zu Stande gebracht.
Zu [mm] "\Rightarrow": [/mm] Diffbar ist eine Funktion, wenn [mm] f(x+\zeta)=f(x)+A(\zeta)+\varphi(\zeta) [/mm] gilt. Was sagt mir das konkret für (0,0) und wie komme ich dann zur Stetigkeit von g limg(x)=g(0) für x gegen a.
Zur anderen Richtung weiß ich noch weniger, auch wenn mir das kaum noch möglich erscheint.
Gruß Sleeper
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Do 04.06.2009 | | Autor: | kevini |
Hier kann man beide Richtungen mithilfe eines Widerspruchsbeweises zeigen. Dabei spielt jeweils das Folgenkriterium für Stetigkeit und die sich aus f ergebende Funktion psi (vgl. Def. 6.1) eine wichtige Rolle.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hier kann man beide Richtungen mithilfe eines
> Widerspruchsbeweises zeigen. Dabei spielt jeweils das
> Folgenkriterium für Stetigkeit und die sich aus f ergebende
> Funktion psi (vgl. Def. 6.1)
wo ???
FRED
> eine wichtige Rolle.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Fr 05.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Zunächst ist $gradf(0,0)=(0,g(0))$
Für $(h,k) [mm] \in \IR^2, [/mm] (h,k) [mm] \not= [/mm] (0,0)$ sei
$Q(h,k) := [mm] \bruch{f(h,k)-f(0,0)-(0,g(0))*(h,k)}{\wurzel{h^2+k^2}}$
[/mm]
Du solltest wissen:
f ist in (0,0) diff.bar [mm] \gdw [/mm] $ Q(h,k) [mm] \to [/mm] 0$ für $(h,k) [mm] \to [/mm] (0,0)$
Rechne nach, dass
(*) $ Q(h,k) = [mm] \bruch{k}{\wurzel{h^2+k^2}}*(g(h)-g(0))$
[/mm]
ist. Mit (*) sieht man nun:
f ist in (0,0) diff.bar [mm] \gdw [/mm] g ist in 0 stetig
FRED
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.math.uni-bielefeld.de/~roeckner/script/ana2_1-14.pdf