Stetigkeit & Definitionslücken < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Tactics |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine Frage zur Stetigkeit von Funktionen, die Definitionslücken aufweisen:
Sei f eine Funktion mit:
[mm]f:\IR\rightarrow\IR\[/mm]
[mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn}\ x\in\IR\setminus\ (3,5)\ \\
undefiniert, &\mbox{sonst}
\end{matrix}\right[/mm]
(Die Funktion ist wahrscheinlich unsauber definiert, mir geht es vor allem darum, dass sie auf einem offenen Intervall undefiniert ist und stetig wäre, wenn man dieses Intervall quasi 'weglassen' würde)
Frage: Ist f für x=5 stetig ?
Meine Gedanken:
Irgendwie fällt es mir schwer, die üblichen Definitionen hier anzuwenden.
Wendet man für a=5 das Epsilon-Delta Kriterium an, so ist es für alle diejenigen x in der Delta Umgebung von a erfüllt, für die die Funktion definiert ist.
Betrachtet man den Grenzwert, so gilt lim x->a+ f(x) = f(a), aber lim x->a- lässt sich weil f(x) undefiniert ist garnicht bilden, oder ?
Existiert dann der lim x->a f(x) überhaupt ? (Normal doch nur, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, oder)
Mir fehlt in den Definitionen einfach eine Aussage darüber, wie in einem solchen Fall zu entscheiden ist (vielleicht übersehe ich sie auch nur...), deshalb möchte ich euch um Rat bitten.
Vielen Dank,
Tactics
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Hi, Tactics,
> ich habe eine Frage zur Stetigkeit von Funktionen, die
> Definitionslücken aufweisen:
>
> Sei f eine Funktion mit:
>
> [mm]f:\IR\rightarrow\IR\[/mm]
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn}\ x\in\IR\setminus\ (3,5)\ \\
undefiniert, &\mbox{sonst}
\end{matrix}\right[/mm]
> Frage: Ist f für x=5 stetig ?
>
> Meine Gedanken:
>
> Irgendwie fällt es mir schwer, die üblichen Definitionen
> hier anzuwenden.
> Wendet man für a=5 das Epsilon-Delta Kriterium an, so ist
> es für alle diejenigen x in der Delta Umgebung von a
> erfüllt, für die die Funktion definiert ist.
> Betrachtet man den Grenzwert, so gilt lim x->a+ f(x) =
> f(a), aber lim x->a- lässt sich weil f(x) undefiniert ist
> garnicht bilden, oder ?
> Existiert dann der lim x->a f(x) überhaupt ? (Normal doch
> nur, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
> übereinstimmen, oder)
Manche Lehrbücher reden in solchen Fällen von "halbseitiger Stetigkeit" (in Deinem Fall dann ja rechtsseitiger St.).
Viele aber beziehen halbseitige Stetigkeit einfach in die "Stetigkeit" mit ein und sagen z.B.:
Die Funktion mit dem Funktionsterm f(x) = [mm] x^{2} [/mm] und [mm] D_{f} [/mm] = [-2; 3] ist in ihrer gesamten Definitionsmenge stetig.
mfG!
Zwerglein
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