Stetigkeit, Beweis zu Corollar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 09.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $\ f: D [mm] \to \IR [/mm] $ stetig im Punkt $\ p [mm] \in [/mm] D $ und $\ f(p) [mm] \not= [/mm] 0$. Dann ist $\ f(x) [mm] \not= [/mm] 0 $ für alle $\ x $ in einer Umgebung von $\ p $m d.h. es existiert ein $\ [mm] \delta [/mm] > 0 $, so dass
$\ f(x) [mm] \not= [/mm] 0 $ für alle $\ x [mm] \in [/mm] D $ mit $\ | x-p | < [mm] \delta [/mm] $ |
Hallo,
das ist ein Corollar aus O.Forster "Analysis 1" s.109.
Ich verstehe den Beweis leider nicht so ganz und würde mich freuen, wenn mir dabei jemand helfen kann.
Beweis:
Zu $\ [mm] \varepsilon [/mm] := | f(p) | > 0 $ existiert ein $\ delta > 0 $, so dass $\ | f(x) - f(p) | < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $\ x [mm] \in [/mm] D $ mit $\ | x-p | < [mm] \delta [/mm] $.
Bis hier hin ist ja noch nix passiert, da ist alles klar.
Weiter:
Daraus folgt $| f(x) | [mm] \ge [/mm] |f(p)| - | f(x) - f(p) | > 0 $ für alle $\ x [mm] \in [/mm] D $ mit $\ | x-p | < [mm] \delta [/mm] $.
Diese Ungleichung verstehe ich nicht ganz.
Mir ist klar, dass $ |f(p) | > |f(x) - f(p) | > 0 [mm] \gdw [/mm] |f(p) |- |f(x) - f(p) | > 0 $
Doch warum ist $\ | f(x) | [mm] \ge [/mm] |f(p)| - | f(x) - f(p) | $ ?
Es muss doch stetige Funktionen geben, die an einer bestimmten Stelle ihres Definitionsbereiches stetig sind, diese Stelle aber in einer Umgebung liegt, in der auch eine Nullstelle der Funktion existiert, oder nicht?
Gruß
ChopSuey
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> Mir ist klar, dass [mm]|f(p) | > |f(x) - f(p) | > 0 \gdw |f(p) |- |f(x) - f(p) | > 0[/mm]
Klar! So sind [mm]\epsilon[/mm] und [mm]f(x)[/mm] definiert.
>
> Doch warum ist [mm]\ | f(x) | \ge |f(p)| - | f(x) - f(p) |[/mm] ?
Das folgt aus der Dreiecksungleichung [mm]|a|+|b|\geq |a+b| [/mm]. Setze [mm]a+b=f(p)[/mm], [mm]a=f(x)[/mm] und [mm]b=f(p)-f(x)[/mm].
>
> Es muss doch stetige Funktionen geben, die an einer
> bestimmten Stelle ihres Definitionsbereiches stetig sind,
> diese Stelle aber in einer Umgebung liegt, in der auch eine
> Nullstelle der Funktion existiert, oder nicht?
Klar geht das. Aber dann verkleinert man die Umgebung halt so lange, bis die Nullstelle nicht mehr drin liegt.
Gruß
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Di 09.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tobias,
saugeil, alles sofort verstanden 
Danke für Deine Antwort.
Die Dreiecksungleichung hätte ich sehen müssen.
Schönen Abend noch,
ChopSuey
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